72 法則：你的錢要幾年才會翻倍

72 法則可以估算，在固定年利率下，本金要幾年才會翻倍。將 72 除以年利率（以百分比表示）即可：年利率 6% 時，72 ÷ 6 = 12 年。在常見的 2% 到 20% 範圍內，結果與精確值相差約一年以內。這個法則不考慮手續費、稅金和通膨，因此它說明的是複利如何增長，而不是你最後實際能留下多少。

這個數字從何而來

「翻倍」代表餘額乘以 2。若年利率為 r，t 年後的乘數是 (1 + r) 的 t 次方。令其等於 2 並取對數，得到 t = ln 2 ÷ ln(1 + r)。ln 2 約為 0.693。當利率很小時，ln(1 + r) 非常接近 r，因此 t 大約是 0.693 ÷ r。若改用百分比表示利率，則約為 69.3 ÷ 年利率（%）。

所以，與數學推導最吻合的數字其實是 69.3，而不是 72。69.3 對連續複利（即每一瞬間都計入利息）是精確的。用 69 則是這種情況下方便的近似值。年利率 1% 時，精確的翻倍時間是 69.7 年。法則給出 72，比實際多了約 3%；69.3 則比實際少了約半個百分點。

翻倍所需的時間與本金金額無關。以年利率 6% 計算，無論是 1,000 還是 1,000,000，按年複利都需要 11.9 年才會翻倍，因為兩者的乘數相同。

法則採用 72，是因為它比較好除。它的因數比 69 或 70 多，能被 2、3、4、6、8、9 和 12 整除，所以常見的利率 3%、4%、6%、8%、9% 和 12% 都會得到整數年數。在 8% 附近的按年複利情況下，72 也很合適：8% 的精確值是 9.0 年，法則給出 9。

準確度如何

以上精確值是用 ln 2 ÷ ln(1 + 利率) 計算，並四捨五入到小數點後一位。6% 時，法則與精確值相差不到十分之一年。2% 時，它高估約一年，因為 72 比較適合小利率的 69.3 還大。20% 時，它低估約 5%。ln(1 + r) ≈ r 這個近似會隨著 r 變大而變差：ln(1.2) 是 0.182，不是 0.2，因此實際的翻倍時間比法則所暗示的更長。

用計算機驗算

打開複利計算機。起始金額輸入 10,000，每月投入金額保持 0，年利率輸入 6%，年數設為 15。逐年表格會顯示餘額何時首次超過 20,000。

計算機預設為按月複利。按月複利的 6% 資金翻倍會稍快一點，約 11.6 年，而非 11.9 年。兩種設定都會在表格第 12 年那一列首次顯示超過 20,000 的餘額，但按月複利會早幾個月達到。

若要手動驗算一年，可以在加法模式下使用百分比計算機。10,000 加上 6% 得到 10,600。再對其加上 6% 得到 11,236。每一年都是把餘額乘以 1.06，逐步計算也顯示同樣的結果。若法則與精確表格有出入，請以表格為準。法則只是用來心算快速估計。起始金額不會改變時間。若起始金額是 50,000 而非 10,000，餘額仍會在第 12 年那一列超過 100,000，因為翻倍是乘數，而不是固定的金額。

反過來使用法則

法則也可以反推。若要在 10 年內讓本金翻倍，用 72 除以 10 得到年利率 7.2%。精確利率是 2 的 1/10 次方減 1，即 7.18%。法則可用來快速檢查：年報酬率 7.2% 大約十年讓本金翻倍，而 3% 則大約需要 23 到 24 年。

同樣的推理也適用於以年數表示的目標。若要在 6 年內讓本金翻倍，用 72 除以 6 得到 12%。精確利率是 2 的 1/6 次方減 1，即 12.25%。法則的結果與精確值相差不到 0.25 個百分點，對規劃儲蓄目標已足夠接近，但若要訂定合約利率則不宜採用。

特殊情況

• 手續費、稅金與通膨。 手續費會降低你實際拿到的利率。稅金會降低你留下的報酬。通膨會降低本金翻倍時所能購買的東西。年報酬 6% 搭配 2% 通膨，實質成長率約為 4%，法則此時指出需要約 18 年，而不是 12 年。
• 虧損。 法則是為成長而寫的。先跌 10% 再漲 10%，並不會回到起點：100 × 0.9 × 1.1 是 99。百分比常見錯誤指南說明了每次變動為何適用於不同的基數。
• 極高利率。 利率超過 20% 左右時，法則與精確值的差距會更大。在 30% 時，它給出 2.4 年，而精確值是 2.6 年。
• 定期存入。 法則假設只有一筆一次性本金，之後不再存入。定期投入的增長會更快，每月儲蓄指南會逐步說明這種情況。
• 是估算，不是保證。 儲蓄利率和投資報酬會變動。法則使用你輸入的利率，因此請把結果視為算術上的估計，而非承諾。套用法則前，請先確認所引用的利率是年利率還是月利率，以及多久複利一次。