Pravidlo 72: za kolik let se vaše peníze zdvojnásobí

Pravidlo 72 odhaduje, kolik let trvá, než se peníze při pevné roční úrokové sazbě zdvojnásobí. Vydělte 72 úrokovou sazbou v procentech: při 6 % ročně je to 72 ÷ 6 = 12 let. V běžném rozmezí od 2 % do 20 % se odhad liší od přesné hodnoty zhruba o rok. Pravidlo nepočítá s poplatky, daněmi ani inflací, takže popisuje, jak peníze rostou úročením, ne to, co si skutečně ponecháte.

Odkud se číslo bere

Zdvojnásobení znamená, že zůstatek se vynásobí 2. Je-li roční sazba r, pak po t letech je násobitel (1 + r) na t. Položíme-li to rovno 2 a použijeme logaritmy, dostaneme t = ln 2 ÷ ln(1 + r). Přirozený logaritmus čísla 2 je přibližně 0,693. Pro malé sazby je ln(1 + r) velmi blízko r, takže t je přibližně 0,693 ÷ r. Vyjádříme-li sazbu v procentech, vychází to přibližně jako 69,3 ÷ úroková sazba v procentech.

Číslo, které matematice odpovídá nejpřesněji, je tedy 69,3, nikoli 72. Číslo 69,3 je přesné pro spojité úročení, tedy úročení připisované každý okamžik. Použít 69 je pro tento případ pohodlná téměř shoda. Při sazbě 1 % je přesná doba zdvojnásobení 69,7 roku. Pravidlo dává 72, tedy asi o 3 % příliš mnoho, zatímco 69,3 je asi o půl procenta méně.

Doba zdvojnásobení nezávisí na částce. Začnete-li s 1 000 nebo s 1 000 000 při 6 %, zdvojnásobí se obojí za stejných 11,9 roku při ročním úročení, protože násobitel je v obou případech stejný.

Pravidlo používá 72, protože se s ním lépe počítá. Má více dělitelů než 69 nebo 70. Dělí se beze zbytku čísly 2, 3, 4, 6, 8, 9 a 12, takže běžné sazby 3 %, 4 %, 6 %, 8 %, 9 % a 12 % dají celé počty let. Pro roční úročení kolem 8 % je 72 také dobrá volba: přesná hodnota při 8 % je 9,0 roku a pravidlo dá 9.

Jak je přesné

Přesné hodnoty počítáme jako ln 2 ÷ ln(1 + sazba), zaokrouhleno na jedno desetinné místo. Při 6 % se pravidlo liší o méně než desetinu roku. Při 2 % nadhodnocuje zhruba o rok, protože 72 je větší než 69,3, které se hodí pro malé sazby. Při 20 % podhodnocuje zhruba o 5 %. Aproximace ln(1 + r) ≈ r se s rostoucím r zhoršuje: ln(1,2) je 0,182, ne 0,2, takže skutečná doba zdvojnásobení je delší, než naznačuje pravidlo.

Kontrola pomocí kalkulaček

Otevřete kalkulačku složeného úročení. Jako počáteční částku zadejte 10 000, měsíční vklad nechte na 0, sazbu nastavte na 6 % a počet let na 15. Tabulka po letech ukáže, kdy zůstatek poprvé překročí 20 000.

Kalkulačka standardně úročí měsíčně. Měsíční úročení zdvojnásobí peníze při 6 % o něco rychleji, za přibližně 11,6 roku místo 11,9. Obě nastavení poprvé ukážou zůstatek nad 20 000 v řádku pro 12. rok tabulky, ale měsíční nastavení se k této hodnotě dostane o několik měsíců dříve.

Jeden rok si můžete ověřit ručně pomocí procentové kalkulačky v režimu přičítání. Přičtením 6 % k 10 000 dostanete 10 600. Přičtením 6 % k tomu dostanete 11 236. Každý rok vynásobí zůstatek číslem 1,06 a postup krok za krokem ukazuje totéž. Pokud se pravidlo a přesná tabulka někdy rozcházejí, věřte tabulce. Pravidlo slouží k rychlému odhadu v hlavě. Počáteční částka časování neovlivní. Při 50 000 místo 10 000 překročí zůstatek 100 000 také v řádku pro 12. rok, protože zdvojnásobení je násobitel, ne pevná částka.

Pravidlo obráceně

Pravidlo funguje i opačně. Chcete-li peníze zdvojnásobit za 10 let, vydělte 72 číslem 10 a dostanete 7,2 % ročně. Přesná sazba je 2 na mocninu 1/10 minus 1, tedy 7,18 %. Pravidlo slouží jako rychlá kontrola: výnos 7,2 % ročně zdvojnásobí peníze přibližně za deset let a výnos 3 % zabere zhruba 23 až 24 let.

Stejná úvaha odpoví i na cíl zadaný počtem let. Chcete-li peníze zdvojnásobit za šest let, vydělte 72 číslem 6 a dostanete 12 % ročně. Přesná sazba je 2 na mocninu 1/6 minus 1, tedy 12,25 %. Pravidlo se trefí do čtvrt procentního bodu, což stačí pro plánování spořicího cíle, ne však pro sjednání smluvní sazby.

Okrajové případy

• Poplatky, daně a inflace. Poplatky snižují sazbu, kterou skutečně dostanete. Daň snižuje výnos, který si ponecháte. Inflace snižuje to, co peníze koupí, až se zdvojnásobí. Výnos 6 % při inflaci 2 % znamená v reálných hodnotách růst zhruba o 4 %, a pravidlo pak ukazuje asi 18 let místo 12.
• Ztráty. Pravidlo je psané pro růst. Pokles o 10 % a následný nárůst o 10 % vás nevrátí na začátek: 100 × 0,9 × 1,1 je 99. Průvodce chybami v procentech vysvětluje, proč se každá změna vztahuje k jinému základu.
• Velmi vysoké sazby. Nad zhruba 20 % se pravidlo od přesné hodnoty vzdaluje ještě více. Při 30 % dá 2,4 roku, zatímco přesně je to 2,6.
• Pravidelné vklady. Pravidlo počítá s jednou částkou bez dalších vkladů. Pravidelné příspěvky rostou rychleji a průvodce měsíčním spořením tento případ propočítává.
• Odhady, ne záruky. Úrokové sazby i výnosy investic se mění. Pravidlo pracuje se sazbou, kterou zadáte, takže výsledek berte jako odhad aritmetiky, ne jako slib. Než pravidlo použijete, ověřte, zda uvedená sazba je roční, nebo měsíční, a jak často se úročí.