A 72-es szabály: hány év alatt duplázódik a pénzed

A 72-es szabály azt becsüli meg, hány év alatt duplázódik meg a pénz állandó éves kamat mellett. Oszd el a 72-t a kamatlábbal százalékban: évi 6%-nál 72 ÷ 6 = 12 év. A szokásos, 2% és 20% közötti tartományban a válasz nagyjából egy évnyire van a pontos értéktől. A szabály figyelmen kívül hagyja a díjakat, az adót és az inflációt, így a növekedés összetett kamatozását írja le, nem azt, hogy mennyi marad a kezedben.

Honnan jön a szám

A duplázódás azt jelenti, hogy az egyenleg 2-szeresére nő. Ha az éves kamat r, akkor t év után a szorzó (1 + r) a t-edik hatvány. Ezt 2-vel egyenlővé téve és logaritmust véve kapjuk, hogy t = ln 2 ÷ ln(1 + r). A 2 természetes logaritmusa körülbelül 0,693. Kis kamatoknál ln(1 + r) nagyon közel van r-hez, így t nagyjából 0,693 ÷ r. Ha a kamatot százalékban írjuk, ez nagyjából 69,3 ÷ a kamatláb százalékban.

Így a matematikához legközelebb álló szám a 69,3, nem a 72. A 69,3 pontos a folyamatos kamatozásra, vagyis amikor a kamat minden pillanatban íródik jóvá. A 69 kényelmes, közeli közelítés erre az esetre. 1%-os kamatnál a pontos duplázódási idő 69,7 év. A szabály 72-t ad, ami körülbelül 3%-kal többet jelent, míg a 69,3 körülbelül fél százalékkal kevesebbet.

A duplázódási idő nem függ az összegtől. 1000-rel vagy 1 000 000-val kezdve, évi 6%-on, éves kamatozással mindkettő ugyanazt a 11,9 évet igényli a duplázódáshoz, mert a szorzó ugyanaz.

A szabály azért 72-t használ, mert azt könnyebb osztani. Több osztója van, mint a 69-nek vagy a 70-nek. Egyenletesen osztható 2-vel, 3-mal, 4-gyel, 6-tal, 8-cal, 9-cel és 12-vel, így a gyakori kamatok, a 3%, 4%, 6%, 8%, 9% és 12%, egész számú éveket adnak. Éves kamatozásnál 8% körül a 72 is jól illeszkedik: 8%-on a pontos érték 9,0 év, a szabály pedig 9-et ad.

Mennyire pontos

A pontos értékek ln 2 ÷ ln(1 + kamat) képlettel készültek, egy tizedesjegyre kerekítve. 6%-nál a szabály egy tizedéven belül van. 2%-nál körülbelül egy évvel többet mond, mert a 72 nagyobb, mint a kis kamatokhoz illeszkedő 69,3. 20%-nál körülbelül 5%-kal kevesebbet. A ln(1 + r) ≈ r közelítés egyre rosszabb, ahogy r nő: ln(1,2) értéke 0,182, nem 0,2, így a valódi duplázódási idő hosszabb, mint amit a szabály sugall.

Ellenőrzés a kalkulátorokkal

Nyisd meg a kamatos kamat kalkulátort. Kezdő összegnek add meg a 10 000-et, a havi befizetést hagyd 0-n, a kamatot állítsd 6%-ra, az évek számát pedig 15-re. Az évenkénti táblázat megmutatja, mikor lép át az egyenleg először a 20 000-et.

A kalkulátor alapértelmezésben havonta kamatoz. A havi kamatozás a 6%-os pénzt valamivel hamarabb duplázza meg, nagyjából 11,6 év alatt az éves 11,9 helyett. Mindkét beállításnál a 20 000 feletti egyenleg először a táblázat 12. évi sorában jelenik meg, de a havi beállítással néhány hónappal korábban.

Egy év kézzel való ellenőrzéséhez használd a százalékszámítót az összeadás módban. A 10 000-hez 6%-ot adva 10 600 lesz. Erre ismét 6%-ot adva 11 236 lesz. Minden évben az egyenleg 1,06-szorosára nő, és a lépésenkénti számítás ugyanezt mutatja. Ha a szabály és a pontos táblázat valaha eltérne, a táblázatnak higgy. A szabály gyors fejszámoláshoz való becslés. A kezdő összeg nem változtatja meg az időzítést. 10 000 helyett 50 000-rel kezdve az egyenleg is a 12. évi sorban lépi át a 100 000-et, mert a duplázódás szorzó, nem fix összeg.

A szabály visszafelé

A szabály visszafelé is működik. Ha 10 év alatt szeretnéd megduplázni a pénzt, oszd el a 72-t 10-zel, így 7,2% évi hozamot kapsz. A pontos kamat 2 hatványa 1/10-edik, mínusz 1, ami 7,18%. A szabály gyors józansági ellenőrzés: évi 7,2%-os hozam körülbelül tíz év alatt duplázza meg a pénzt, a 3%-os hozam pedig nagyjából 23–24 évet igényel.

Ugyanez a gondolatmenet válaszol arra a célra, amelyet évek számában adnak meg. Ha hat év alatt szeretnéd megduplázni a pénzt, oszd el a 72-t 6-tal, így 12% évi hozamot kapsz. A pontos kamat 2 hatványa 1/6-od, mínusz 1, ami 12,25%. A szabály negyed százalékponton belül van, ami elég pontos egy megtakarítási cél tervezéséhez, de nem elég egy szerződéses kamat meghatározásához.

Szélsőséges esetek

• Díjak, adó és infláció. A díjak csökkentik a ténylegesen kapott kamatot. Az adó csökkenti a megtartott hozamot. Az infláció csökkenti azt, amit a pénz a duplázódáskor vásárolni tud. 6%-os hozam és 2%-os infláció mellett a reálnövekedés körülbelül 4%, és ekkor a szabály 12 helyett körülbelül 18 évet mutat.
• Veszteségek. A szabály növekedésre íródott. 10%-os esés, majd 10%-os emelkedés nem hozza vissza a kiindulópontot: 100 × 0,9 × 1,1 = 99. A százalékos számítási hibák útmutatója megmagyarázza, miért más alapra vonatkozik minden változás.
• Nagyon magas kamatok. Körülbelül 20% felett a szabály egyre jobban eltér a pontos értéktől. 30%-nál 2,4 évet ad, a pontos érték 2,6 év.
• Rendszeres befizetések. A szabály egy összeget feltételez, további befizetések nélkül. A rendszeres befizetések gyorsabban nőnek, és a havi megtakarítás útmutatója végigveszi ezt az esetet.
• Becslések, nem garanciák. A megtakarítási kamatok és a befektetési hozamok változnak. A szabály a megadott kamatot használja, ezért az eredményt a számítás becsléseként kezeld, ne ígéretként. A szabály alkalmazása előtt nézd meg, hogy a megadott kamat éves vagy havi érték-e, és milyen gyakran íródik jóvá.