Правило 72: через скільки років ваші гроші подвояться

Правило 72 дає змогу оцінити, за скільки років гроші подвояться за фіксованої річної ставки. Поділіть 72 на відсоток: за 6% на рік 72 ÷ 6 = 12 років. У типовому діапазоні від 2% до 20% результат відрізняється від точного значення приблизно на рік. Правило не враховує комісії, податки та інфляцію, тож воно показує, як працює складання відсотків, а не те, що ви справді збережете.

Звідки береться це число

Подвоєння означає, що баланс множиться на 2. Якщо річна ставка дорівнює r, то через t років множник становитиме (1 + r) у степені t. Прирівнюємо до 2, беремо логарифми і отримуємо t = ln 2 ÷ ln(1 + r). Натуральний логарифм від 2 приблизно дорівнює 0,693. Для малих ставок ln(1 + r) дуже близький до r, тож t приблизно дорівнює 0,693 ÷ r. Якщо записати ставку у відсотках, виходить приблизно 69,3 ÷ відсоток ставки.

Отже, число, яке найточніше відповідає математиці, — 69,3, а не 72. Число 69,3 точне для неперервного нарахування, тобто коли відсотки додаються щомиті. Число 69 є зручним наближенням до цього випадку. За ставки 1% точний час подвоєння становить 69,7 року. Правило дає 72, тобто приблизно на 3% більше, а 69,3 — приблизно на пів відсотка менше.

Час подвоєння не залежить від суми. Початкові 1 000 чи 1 000 000 за 6% подвояться однаково, за 11,9 року при щорічному нарахуванні, бо множник в обох випадках однаковий.

Правило використовує 72, бо його легше ділити. У ньому більше дільників, ніж у 69 чи 70. Воно ділиться без остачі на 2, 3, 4, 6, 8, 9 і 12, тож поширені ставки 3%, 4%, 6%, 8%, 9% і 12% дають цілу кількість років. Для щорічного нарахування близько 8% число 72 також добре пасує: точне значення за 8% дорівнює 9,0 року, а правило дає 9.

Наскільки воно точне

Точні значення обчислено за формулою ln 2 ÷ ln(1 + ставка) і округлено до однієї десятої. За 6% правило відрізняється менш ніж на десяту частку року. За 2% воно завищує приблизно на рік, бо 72 більше за 69,3, яке краще пасує до малих ставок. За 20% воно занижує приблизно на 5%. Наближення ln(1 + r) ≈ r стає гіршим зі зростанням r: ln(1,2) дорівнює 0,182, а не 0,2, тож справжній час подвоєння довший, ніж підказує правило.

Перевірка калькуляторами

Відкрийте калькулятор складних відсотків. Введіть 10 000 як початкову суму, залиште щомісячний внесок на рівні 0, вкажіть 6% як ставку і 15 років. Таблиця за роками показує, коли баланс уперше перевищить 20 000.

За замовчуванням калькулятор нараховує відсотки щомісяця. Місячне нарахування подвоює гроші за 6% трохи швидше, приблизно за 11,6 року замість 11,9. В обох варіантах баланс уперше перевищує 20 000 у рядку 12-го року таблиці, але з місячним нарахуванням це відбувається на кілька місяців раніше.

Щоб перевірити один рік вручну, скористайтеся калькулятором відсотків у режимі додавання. Додавання 6% до 10 000 дає 10 600. Додавання 6% до цієї суми дає 11 236. Щороку баланс множиться на 1,06, і покроковий розрахунок показує те саме. Якщо правило й точна таблиця коли-небудь розходяться, довіряйте таблиці. Правило потрібне для швидкої оцінки в умі. Початкова сума не змінює строків. Із 50 000 замість 10 000 баланс усе одно перевищить 100 000 у рядку 12-го року, бо подвоєння — це множник, а не фіксована сума.

Правило у зворотному напрямку

Правило працює і у зворотний бік. Щоб подвоїти гроші за 10 років, поділіть 72 на 10 і отримайте 7,2% на рік. Точна ставка — це 2 у степені 1/10 мінус 1, що дорівнює 7,18%. Правило є швидкою перевіркою здорового глузду: дохідність 7,2% на рік подвоює гроші приблизно за десять років, а 3% потребують приблизно 23–24 роки.

Та сама логіка працює і для цілі, заданої кількістю років. Щоб подвоїти гроші за шість років, поділіть 72 на 6 і отримайте 12% на рік. Точна ставка — це 2 у степені 1/6 мінус 1, що дорівнює 12,25%. Правило потрапляє в межі чверті відсоткового пункту, чого достатньо для планування фінансової цілі, але не для встановлення ставки за договором.

Крайні випадки

• Комісії, податки та інфляція. Комісії знижують ставку, яку ви справді отримуєте. Податок зменшує дохід, який лишається у вас. Інфляція знижує купівельну силу грошей, коли вони подвоюються. Дохідність 6% за інфляції 2% дає реальне зростання приблизно 4%, і тоді правило показує приблизно 18 років замість 12.
• Втрати. Правило написане для зростання. Падіння на 10% із подальшим зростанням на 10% не повертає вас до початку: 100 × 0,9 × 1,1 дорівнює 99. Посібник із типових помилок у відсотках пояснює, чому кожна зміна застосовується до різної бази.
• Дуже високі ставки. Понад приблизно 20% правило дедалі більше відхиляється від точного значення. За 30% воно дає 2,4 року, а точне значення — 2,6.
• Регулярні внески. Правило припускає одноразову суму без додаткових внесків. Регулярні внески ростуть швидше, і посібник із щомісячних заощаджень розбирає цей випадок.
• Оцінки, а не гарантії. Ставки за заощадженнями та інвестиційна дохідність змінюються. Правило використовує ставку, яку ви введете, тож сприймайте результат як оцінку арифметики, а не обіцянку. Перш ніж застосовувати правило, перевірте, чи названа ставка річною чи місячною і скільки разів на рік вона нараховується.