Ο κανόνας του 72: σε πόσα χρόνια διπλασιάζονται τα χρήματά σας

Ο κανόνας του 72 εκτιμά σε πόσα χρόνια διπλασιάζονται τα χρήματα με σταθερό ετήσιο επιτόκιο. Διαιρέστε το 72 με το επιτόκιο σε ποσοστό: με 6% τον χρόνο, 72 ÷ 6 = 12 χρόνια. Στο συνηθισμένο εύρος από 2% έως 20% η απάντηση απέχει περίπου ένα έτος από τον ακριβή αριθμό. Ο κανόνας αγνοεί προμήθειες, φόρους και πληθωρισμό, οπότε περιγράφει πώς συνθέτεται η ανάπτυξη και όχι όσα τελικά θα κρατήσετε.

Από πού προέρχεται ο αριθμός

Διπλασιασμός σημαίνει ότι το υπόλοιπο πολλαπλασιάζεται επί 2. Αν το ετήσιο επιτόκιο είναι r, μετά από t χρόνια ο πολλαπλασιαστής είναι (1 + r) στη δύναμη t. Θέτοντας το ίσο με 2 και παίρνοντας λογάριθμους, προκύπτει t = ln 2 ÷ ln(1 + r). Ο φυσικός λογάριθμος του 2 είναι περίπου 0.693. Για μικρά επιτόκια, το ln(1 + r) είναι πολύ κοντά στο r, οπότε το t είναι περίπου 0.693 ÷ r. Αν γράψετε το επιτόκιο σε ποσοστό, γίνεται περίπου 69.3 ÷ το επιτόκιο σε ποσοστό.

Άρα ο αριθμός που ταιριάζει καλύτερα με τα μαθηματικά είναι το 69.3, όχι το 72. Το 69.3 είναι ακριβές για τη συνεχή ανατοκισμό, δηλαδή όταν ο τόκος προστίθεται σε κάθε στιγμή. Το 69 είναι βολική προσέγγιση σε αυτή την περίπτωση. Με επιτόκιο 1%, ο ακριβής χρόνος διπλασιασμού είναι 69.7 χρόνια. Ο κανόνας δίνει 72, δηλαδή περίπου 3% παραπάνω, ενώ το 69.3 είναι περίπου μισό τοις εκατό λιγότερο.

Ο χρόνος διπλασιασμού δεν εξαρτάται από το ποσό. Αν ξεκινήσετε με 1.000 ή με 1.000.000 με 6%, χρειάζονται τα ίδια 11.9 χρόνια για να διπλασιαστεί με ετήσιο ανατοκισμό, επειδή ο πολλαπλασιαστής είναι ίδιος και στις δύο περιπτώσεις.

Ο κανόνας χρησιμοποιεί το 72 επειδή είναι ευκολότερο να διαιρεθεί. Έχει περισσότερους διαιρέτες από το 69 ή το 70. Διαιρείται ακριβώς με τα 2, 3, 4, 6, 8, 9 και 12, οπότε τα συνηθισμένα επιτόκια 3%, 4%, 6%, 8%, 9% και 12% δίνουν ακέραια έτη. Για ετήσιο ανατοκισμό κοντά στο 8%, το 72 ταιριάζει επίσης καλά: ο ακριβής αριθμός για 8% είναι 9.0 χρόνια, και ο κανόνας δίνει 9.

Πόσο ακριβής είναι

Οι ακριβείς τιμές χρησιμοποιούν ln 2 ÷ ln(1 + επιτόκιο), στρογγυλοποιημένες σε ένα δεκαδικό ψηφίο. Με 6% ο κανόνας απέχει λιγότερο από ένα δέκατο του έτους. Με 2% υπερβάλλει κατά περίπου ένα έτος, επειδή το 72 είναι μεγαλύτερο από το 69.3 που ταιριάζει σε μικρά επιτόκια. Με 20% υποεκτιμά κατά περίπου 5%. Η προσέγγιση ln(1 + r) ≈ r χειροτερεύει καθώς μεγαλώνει το r: το ln(1.2) είναι 0.182, όχι 0.2, οπότε ο πραγματικός χρόνος διπλασιασμού είναι μεγαλύτερος από όσο δείχνει ο κανόνας.

Έλεγχος με τους υπολογιστές

Ανοίξτε την αριθμομηχανή σύνθετου τόκου. Εισάγετε 10.000 ως αρχικό ποσό, αφήστε τη μηνιαία συνεισφορά στο 0, βάλτε 6% ως επιτόκιο και ορίστε τα έτη σε 15. Ο πίνακας ανά έτος δείχνει πότε το υπόλοιπο ξεπερνά για πρώτη φορά τα 20.000.

Η αριθμομηχανή κάνει ανατοκισμό κάθε μήνα από προεπιλογή. Ο μηνιαίος ανατοκισμός διπλασιάζει τα χρήματα με 6% λίγο νωρίτερα, περίπου σε 11.6 αντί για 11.9 χρόνια. Και οι δύο ρυθμίσεις δείχνουν για πρώτη φορά υπόλοιπο πάνω από 20.000 στη γραμμή του 12ου έτους του πίνακα, αλλά η μηνιαία ρύθμιση φτάνει μερικούς μήνες νωρίτερα.

Για να ελέγξετε ένα έτος με το χέρι, χρησιμοποιήστε τον υπολογιστή ποσοστών στη λειτουργία πρόσθεσης. Προσθέτοντας 6% στα 10.000 προκύπτουν 10.600. Προσθέτοντας 6% σε αυτό προκύπτουν 11.236. Κάθε έτος πολλαπλασιάζει το υπόλοιπο επί 1.06, και το βήμα προς βήμα δείχνει το ίδιο. Αν ο κανόνας και ο ακριβής πίνακας ποτέ διαφωνήσουν, εμπιστευτείτε τον πίνακα. Ο κανόνας είναι για μια γρήγορη εκτίμηση στο μυαλό. Το αρχικό ποσό δεν αλλάζει τον χρόνο. Με 50.000 αντί για 10.000, το υπόλοιπο εξακολουθεί να ξεπερνά τα 100.000 στη γραμμή του 12ου έτους, επειδή ο διπλασιασμός είναι πολλαπλασιαστής και όχι σταθερό ποσό.

Αντιστροφή του κανόνα

Ο κανόνας λειτουργεί και αντίστροφα. Για να διπλασιάσετε τα χρήματα σε 10 χρόνια, διαιρέστε το 72 με το 10 και βρίσκετε 7.2% τον χρόνο. Το ακριβές επιτόκιο είναι 2 στη δύναμη 1/10, μείον 1, δηλαδή 7.18%. Ο κανόνας είναι γρήγορος έλεγχος λογικής: απόδοση 7.2% τον χρόνο διπλασιάζει τα χρήματα σε περίπου δέκα χρόνια, ενώ απόδοση 3% θέλει περίπου 23 με 24 χρόνια.

Ο ίδιος συλλογισμός απαντά σε έναν στόχο που δίνεται σε έτη. Για να διπλασιάσετε τα χρήματα σε έξι χρόνια, διαιρέστε το 72 με το 6 και βρίσκετε 12% τον χρόνο. Το ακριβές επιτόκιο είναι 2 στη δύναμη 1/6, μείον 1, δηλαδή 12.25%. Ο κανόνας πέφτει εντός ενός τετάρτου της μονάδας, αρκετά κοντά για τον προγραμματισμό ενός στόχου αποταμίευσης, αλλά όχι για τον καθορισμό επιτοκίου σε συμβόλαιο.

Ειδικές περιπτώσεις

• Προμήθειες, φόροι και πληθωρισμός. Οι προμήθειες μειώνουν το επιτόκιο που πραγματικά παίρνετε. Ο φόρος μειώνει την απόδοση που κρατάτε. Ο πληθωρισμός μειώνει την αγοραστική δύναμη των χρημάτων όταν διπλασιαστούν. Απόδοση 6% με πληθωρισμό 2% αφήνει ανάπτυξη περίπου 4% σε πραγματικούς όρους, και τότε ο κανόνας δείχνει περίπου 18 χρόνια αντί για 12.
• Ζημιές. Ο κανόνας είναι γραμμένος για ανάπτυξη. Μια πτώση 10% ακολουθούμενη από άνοδο 10% δεν σας επαναφέρει στην αρχή: 100 × 0.9 × 1.1 είναι 99. Ο οδηγός για τα λάθη με τα ποσοστά εξηγεί γιατί κάθε μεταβολή εφαρμόζεται σε διαφορετική βάση.
• Πολύ υψηλά επιτόκια. Πάνω από περίπου 20% ο κανόνας απομακρύνεται περισσότερο από τον ακριβή αριθμό. Στο 30% δίνει 2.4 χρόνια, ενώ ο ακριβής είναι 2.6.
• Τακτικές καταθέσεις. Ο κανόνας υποθέτει ένα εφάπαξ ποσό και καμία περαιτέρω κατάθεση. Οι τακτικές συνεισφορές αυξάνουν τα χρήματα πιο γρήγορα, και ο οδηγός για τις μηνιαίες αποταμιεύσεις εξετάζει αυτή την περίπτωση.
• Εκτιμήσεις, όχι εγγυήσεις. Τα επιτόκια αποταμίευσης και οι αποδόσεις επενδύσεων αλλάζουν. Ο κανόνας χρησιμοποιεί το επιτόκιο που εισάγετε, οπότε αντιμετωπίστε το αποτέλεσμα ως εκτίμηση της αριθμητικής και όχι ως υπόσχεση. Ελέγξτε αν το επιτόκιο που σας προσφέρεται είναι ετήσιο ή μηνιαίο, και πόσο συχνά ανατοκίζεται, πριν εφαρμόσετε τον κανόνα.