Правило 72: через сколько лет деньги удвоятся

Правило 72 оценивает, сколько лет потребуется, чтобы деньги удвоились при фиксированной годовой ставке. Разделите 72 на ставку в процентах: при 6% годовых 72 ÷ 6 = 12 лет. В типичном диапазоне от 2% до 20% ответ отличается от точного значения примерно на год. Правило не учитывает комиссии, налоги и инфляцию, поэтому оно показывает, как работает начисление процентов, а не то, сколько вы в итоге сохраните.

Откуда берётся это число

Удвоение означает, что остаток умножается на 2. Если годовая ставка равна r, то через t лет множитель составит (1 + r) в степени t. Приравняв его к 2 и взяв логарифмы, получаем t = ln 2 ÷ ln(1 + r). Натуральный логарифм двух примерно равен 0,693. При небольших ставках ln(1 + r) очень близок к r, поэтому t примерно равно 0,693 ÷ r. Если записать ставку в процентах, получится примерно 69,3 ÷ ставка в процентах.

Таким образом, число, которое ближе всего к математике, — 69,3, а не 72. Число 69,3 точно для непрерывного начисления, то есть когда проценты начисляются каждое мгновение. Использовать 69 удобно как близкое приближение для этого случая. При ставке 1% точное время удвоения составляет 69,7 года. Правило даёт 72, то есть примерно на 3% больше, а 69,3 отличается примерно на полпроцента в меньшую сторону.

Время удвоения не зависит от суммы. Начальные 1 000 или 1 000 000 при 6% удваиваются за одинаковые 11,9 года при ежегодном начислении, потому что множитель в обоих случаях один и тот же.

Правило использует 72, потому что с этим числом проще считать. У него больше делителей, чем у 69 или 70. Оно делится без остатка на 2, 3, 4, 6, 8, 9 и 12, поэтому распространённые ставки 3%, 4%, 6%, 8%, 9% и 12% дают целое число лет. При ежегодном начислении около 8% 72 тоже хорошо подходит: точное значение при 8% равно 9,0 года, а правило даёт 9.

Насколько оно точно

Точные значения вычислены по формуле ln 2 ÷ ln(1 + ставка) и округлены до одного знака после запятой. При 6% правило отличается меньше чем на десятую долю года. При 2% оно завышает примерно на год, потому что 72 больше, чем 69,3, которое лучше подходит для малых ставок. При 20% оно занижает примерно на 5%. Приближение ln(1 + r) ≈ r становится хуже по мере роста r: ln(1,2) равен 0,182, а не 0,2, поэтому реальное время удвоения больше, чем предполагает правило.

Проверка с помощью калькуляторов

Откройте калькулятор сложных процентов. Введите 10 000 как начальную сумму, оставьте ежемесячный взнос равным 0, введите 6% как ставку и установите срок 15 лет. В таблице по годам видно, когда остаток впервые превысит 20 000.

По умолчанию калькулятор начисляет проценты ежемесячно. Ежемесячное начисление удваивает деньги при 6% чуть быстрее, примерно за 11,6 года вместо 11,9. Оба варианта впервые показывают остаток выше 20 000 в строке 12-го года таблицы, но при ежемесячном начислении это происходит на несколько месяцев раньше.

Чтобы проверить один год вручную, воспользуйтесь калькулятором процентов в режиме прибавления. Прибавив 6% к 10 000, получаем 10 600. Прибавив 6% к этому, получаем 11 236. Каждый год остаток умножается на 1,06, и пошаговый расчёт показывает то же самое. Если правило и точная таблица когда-нибудь расходятся, доверяйте таблице. Правило нужно для быстрой прикидки в уме. Начальная сумма не меняет сроки. При 50 000 вместо 10 000 остаток всё равно превышает 100 000 в строке 12-го года, потому что удвоение — это множитель, а не фиксированная сумма.

Обратное применение правила

Правило работает и в обратную сторону. Чтобы удвоить деньги за 10 лет, разделите 72 на 10 и получите 7,2% годовых. Точная ставка равна 2 в степени 1/10 минус 1, то есть 7,18%. Правило служит быстрой проверкой здравого смысла: доходность 7,2% годовых удваивает деньги примерно за десять лет, а при доходности 3% на это уйдёт примерно 23–24 года.

Тот же ход мысли позволяет решить задачу, когда цель задана сроком. Чтобы удвоить деньги за 6 лет, разделите 72 на 6 и получите 12% годовых. Точная ставка равна 2 в степени 1/6 минус 1, то есть 12,25%. Правило попадает в пределах четверти процентного пункта, чего достаточно для планирования накопительной цели, но недостаточно для установления ставки по договору.

Особые случаи

• Комиссии, налоги и инфляция. Комиссии снижают реальную ставку, которую вы получаете. Налог уменьшает доход, который остаётся у вас. Инфляция уменьшает покупательную способность денег к моменту удвоения. Доходность 6% при инфляции 2% даёт рост примерно 4% в реальном выражении, и тогда правило указывает примерно на 18 лет вместо 12.
• Убытки. Правило написано для роста. Падение на 10% с последующим ростом на 10% не возвращает к исходной сумме: 100 × 0,9 × 1,1 равно 99. Руководство по ошибкам с процентами объясняет, почему каждое изменение применяется к разной базе.
• Очень высокие ставки. Выше примерно 20% правило всё сильнее расходится с точным значением. При 30% оно даёт 2,4 года против точных 2,6.
• Регулярные взносы. Правило предполагает одну единовременную сумму без дополнительных взносов. Регулярные взносы растут быстрее, и руководство по ежемесячным накоплениям разбирает этот случай.
• Оценки, а не гарантии. Ставки по вкладам и доходность инвестиций меняются. Правило использует ту ставку, которую вы введёте, поэтому считайте результат оценкой арифметики, а не обещанием. Прежде чем применять правило, проверьте, указана ли ставка в годовом или месячном выражении и как часто она начисляется.