百分比常見錯誤：為什麼先漲20%再跌20%回不到原價

百分比永遠是某個數量的一部分，而大多數的百分比錯誤，都是因為忘了要以哪個數量為基準。上漲20%之後再下跌20%，並不會回到起點，因為每次變動套用的基準不同。先確認基準，大部分的困惑就能迎刃而解。

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百分之幾、百分比變化與百分點

有三個說法聽起來很像，意思卻不同：

• 百分之幾。 150的20%是0.20 × 150，等於30。你是在取固定金額的一部分。
• 百分比變化。 從舊值變成新值的差額，除以舊值：(新值 − 舊值) ÷ 舊值 × 100。從80變成100，是 (100 − 80) ÷ 80 × 100，等於上漲25%，而不是20%。
• 百分點。 兩個百分比之間的算術差。如果儲蓄利率從5%變成8%，就是上升了3個百分點。但它同時也上漲了60%，因為 (8 − 5) ÷ 5 × 100 等於60。以貸款來說，利率升個一、兩個百分點，對每月還款的影響往往比想像中大，你可以用貸款計算機算出實際差額。

新聞標題常常沒有說明指的是哪一種。當有人說某個數字從5%「上升了3%」，你就要問清楚，他指的是百分點還是相對變化。關於四種基本公式，請參考如何計算百分比。

為什麼先漲再跌不等於零

假設價格是100。上漲20%後變成120。下跌20%是以新價格120為基準，而不是原本的100。所以下跌的金額是120的20%，即24，最後價格是96。

步驟	計算	結果
起始		100
上漲20%	100 × 1.20	120
下跌20%	120 × 0.80	96

淨變化是−4%，而不是零。這兩次變動是相乘，不是相加：1.20 × 0.80 = 0.96。同樣的原理也說明了，連續兩次折扣的效果不等於兩個百分比相加。先打8折再打9折，乘數是 0.80 × 0.90 = 0.72，等於打了28折扣，而不是30%。

反推百分比：從折扣價算回原價

有時你知道特價，卻需要知道原價。這時要除以乘數，而不是除以折扣率。

• 一件外套打8折後是$80，乘數是0.80，所以原價是 80 ÷ 0.80 = $100。
• 一雙鞋打75折後是$90，乘數是0.75，所以原價是 90 ÷ 0.75 = $120。

常見的錯誤是把$80加上20%，得到$96。這是錯的，因為那20%是以$100計算，而不是以$80計算。驗算的方法是反過來再扣一次折扣：$100 扣掉20%是$80，與原價吻合。如果是兩段式折扣，可以用折扣計算機依序逐步計算。

帳單的實例

一間餐廳對$60的餐點加收10%服務費，總額是 60 × 1.10 = $66。如果之後為了表示歉意而減收10%，結果是 66 × 0.90 = $59.40，比原價少了$0.60，並不是剛好回到$60。減免是以較大的金額計算，所以減掉的部分比加收的服務費略少。

百分比的百分比

當一個比率套用在另一個比率上，要把小數相乘。如果銷售額的40%要收取5%的手續費，就是 0.05 × 0.40 = 0.02，即總額的2%。成長率也是同樣的道理。每年成長10%，連續兩年就是 1.10 × 1.10 = 1.21，總共成長21%，而不是20%。

避免大多數錯誤的步驟

1. 先確認基準。計算前先問：「這是以什麼為基準的百分比？」
2. 轉換成乘數。上漲20%是 × 1.20，下跌20%是 × 0.80。
3. 一連串變動時，把乘數相乘。
4. 反推時除以乘數，而不是減去百分比。
5. 反過來套用變動，檢查結果是否正確。

如果想快速驗證某個數字，百分比計算機可以輸入基準與變動幅度並算出結果，方便你逐步核對。

在 fixmint 上操作

1. 開啟百分比計算機，使用以「以……為起點」開頭的那一列。
2. 輸入100，保留加號，並將百分比輸入20。答案是120。
3. 把起始值改為120，切換成減號，再輸入20。答案是96。
4. 使用「從……到……」那一列，輸入100和96，即可看到淨變化為−4%。

特殊情況

• 零與負數基準。 計算百分比變化時，起始值不能為零，因為不能除以零。從負數開始的變化，其正負號容易讓人混淆，所以描述時最好比較絕對值。
• 四捨五入。 只在計算的最後一步四捨五入，不要每一步都先取整數。如果每階段都把1.1025四捨五入成1.10，金額較大時，總額可能會差到一塊錢以上。
• 稅金與小費。 小費或稅金是在另一個百分比之前或之後加上，結果會不同。分帳指南說明了如何處理稅前與稅後總額的小費。
• 複利成長。 利息和成長都會複利計算，因此10%的利率在十年後並不是簡單相加成100%。請使用乘數，並以期數作為次方計算。

常見問題

如果價格先上漲20%再下跌20%，我要付原價嗎？

不用。下跌的部分是以較高的價格計算，所以最後會比起點低4%。把兩次變動相乘，1.20 × 0.80，即可看出淨效果。

百分比和百分點有什麼不同？

百分點是兩個百分比之間的算術差，例如從5%變成8%就是3個百分點。百分比變化則是相對於起始值，同樣的變動如果以相對值計算，就是上漲60%。

如何找出打折前的原價？

把特價除以1減去折扣率。打8折後是$80，原價就是 $80 ÷ 0.80，即$100。