Ошибки в процентах: почему +20% и затем −20% не возвращают к исходному значению

Процент всегда является долей от какой-то величины, и большинство ошибок в процентах возникает из-за того, что забывают, от какой величины он взят. Рост на 20 процентов с последующим падением на 20 процентов не возвращает к исходной точке, потому что каждое изменение применяется к разной базе. Сначала определите базу, и большая часть путаницы исчезнет.

Калькулятор процентовСколько это в процентах?Сделать бесплатно

Процент от числа, процентное изменение и процентные пункты

Три выражения звучат похоже, но означают разное:

• Процент от числа. 20% от 150 — это 0,20 × 150, то есть 30. Вы берёте долю от фиксированной суммы.
• Процентное изменение. Разница между старым и новым значением, делённая на старое значение: (новое − старое) ÷ старое × 100. При переходе от 80 к 100 получаем (100 − 80) ÷ 80 × 100, то есть рост на 25%, а не на 20%.
• Процентные пункты. Арифметическая разница между двумя процентами. Если ставка по вкладу выросла с 5% до 8%, она повысилась на 3 процентных пункта. При этом она выросла на 60%, потому что (8 − 5) ÷ 5 × 100 = 60. По кредиту рост ставки на пункт или два сильнее сказывается на ежемесячном платеже, чем кажется; Калькулятор кредита покажет, насколько именно.

В заголовках часто не уточняют, что имеется в виду. Когда пишут, что показатель вырос «на 3%» с 5%, спросите, речь о процентных пунктах или об относительном изменении. Четыре основные формулы разобраны в статье как рассчитать процент.

Почему рост, а потом падение не дают ноль

Возьмём цену 100. Рост на 20% даёт 120. Падение на 20% берётся от новой цены, 120, а не от исходных 100. Значит, снижение составляет 20% от 120, то есть 24, и цена оказывается 96.

Шаг	Расчёт	Результат
Начало		100
Рост на 20%	100 × 1,20	120
Падение на 20%	120 × 0,80	96

Итоговое изменение составляет −4%, а не ноль. Изменения перемножаются, а не складываются: 1,20 × 0,80 = 0,96. Тот же эффект объясняет, почему две последовательные скидки не равны сумме двух процентов. Скидка 20% с последующей скидкой ещё 10% даёт множитель 0,80 × 0,90 = 0,72, то есть скидка составит 28%, а не 30%.

Обратные проценты: как вычислить цену до скидки

Иногда известна цена со скидкой, а нужна исходная. Делите на множитель, а не на размер скидки.

• Куртка стоит 80 $ после скидки 20%. Множитель равен 0,80, поэтому исходная цена составляет 80 ÷ 0,80 = 100 $.
• Туфли стоят 90 $ после скидки 25%. Множитель равен 0,75, поэтому исходная цена составляет 90 ÷ 0,75 = 120 $.

Частая ошибка — прибавить 20% к 80 $ и получить 96 $. Это неверно, потому что 20% брались от 100 $, а не от 80 $. Проверьте ответ, снова применив скидку: 100 $ минус 20% дают 80 $, всё сходится. Если в распродаже сложены две скидки, Калькулятор скидок пошагово проведёт расчёт по каждому этапу.

Пример со счётом в ресторане

Ресторан добавляет 10% за обслуживание к счёту в 60 $. Итог составляет 60 × 1,10 = 66 $. Если потом счёт уменьшают на 10% в качестве жеста доброй воли, получаем 66 × 0,90 = 59,40 $, что на 0,60 $ меньше исходных 60 $, а не точный возврат к 60 $. Скидка бралась от большей суммы, поэтому она убрала немного меньше, чем добавил сбор за обслуживание.

Проценты от процентов

Когда одна ставка применяется к другой, перемножайте десятичные дроби. Комиссия 5% от 40% выручки составляет 0,05 × 0,40 = 0,02, то есть 2% от общей суммы. То же правило работает и для темпов роста. Рост на 10% в год в течение двух лет даёт 1,10 × 1,10 = 1,21, то есть всего 21%, а не 20%.

Шаги, которые помогают избежать большинства ошибок

1. Назовите базу. Прежде чем считать, спросите себя: «процент от чего?»
2. Переведите в множитель. Рост на 20% — это × 1,20, падение на 20% — это × 0,80.
3. Для последовательности изменений перемножьте множители.
4. Чтобы вернуться назад, делите на множитель, а не вычитайте процент.
5. Проверьте результат, применив изменение в обратную сторону.

Если нужно быстро проверить число, Калькулятор процентов принимает базу и изменение и выдаёт результат, так что каждый шаг можно проверить.

Как сделать это в fixmint

1. Откройте Калькулятор процентов и используйте строку, которая начинается с «Начните с».
2. Введите 100, оставьте знак «+» и укажите 20 в качестве процента. Ответ — 120.
3. Измените начальное значение на 120, переключите знак на «минус» и снова введите 20. Ответ — 96.
4. Используйте строку «От … до …» с числами 100 и 96, чтобы увидеть итоговое изменение, которое составляет −4%.

Особые случаи

• Нулевая и отрицательная база. Процентное изменение требует ненулевого начального значения, ведь на ноль делить нельзя. Изменение от отрицательного значения даёт результат, знак которого может запутать, поэтому при описании сравнивайте абсолютные величины.
• Округление. Округляйте в конце расчёта, а не после каждого шага. Округление 1,1025 до 1,10 на каждом этапе может сдвинуть итог на копейку или больше при крупных суммах.
• Налоги и чаевые. От того, добавляется ли чаевые или налог до или после другого процента, итог меняется. В руководстве по делению счёта рассказано о чаевых с суммы до налога и после него.
• Сложный рост. Проценты и рост начисляются на проценты, поэтому ставка 10% за десять лет не даёт простым сложением 100%. Используйте множитель, возведённый в степень, равную числу периодов.

Краткие ответы

Если цены растут на 20%, а потом падают на 20%, заплачу ли я исходную цену?

Нет. Падение берётся от более высокой цены, поэтому итог оказывается на 4% ниже начального. Перемножьте два изменения, 1,20 × 0,80, чтобы увидеть итоговый эффект.

В чём разница между процентами и процентными пунктами?

Процентный пункт — это арифметическая разница между двумя процентами, например переход от 5% к 8% даёт 3 пункта. Процентное изменение рассчитывается относительно начального значения, поэтому то же движение составляет рост на 60%.

Как найти исходную цену до скидки?

Разделите цену со скидкой на единицу минус размер скидки. Цена 80 $ после скидки 20% получена из 80 ÷ 0,80, то есть из 100 $.