Λάθη με ποσοστά: γιατί +20% και μετά −20% δεν είναι μηδέν

Ένα ποσοστό είναι πάντα κλάσμα κάποιου ποσού, και τα περισσότερα λάθη με ποσοστά προκύπτουν όταν ξεχνάμε ποιο είναι αυτό το ποσό. Αύξηση 20% και μετά μείωση 20% δεν σας επαναφέρει στην αρχή, επειδή κάθε μεταβολή εφαρμόζεται σε διαφορετική βάση. Υπολογίστε πρώτα τη βάση και το μεγαλύτερο μέρος της σύγχυσης εξαφανίζεται.

Υπολογιστής ποσοστώνΤι ποσοστό είναι, τελικά;Κάντε το δωρεάν

Ποσοστό επί, ποσοστιαία μεταβολή και ποσοστιαίες μονάδες

Τρεις φράσεις ακούγονται παρόμοιες, αλλά σημαίνουν διαφορετικά πράγματα:

Ποσοστό επί. Το 20% του 150 είναι 0,20 × 150, δηλαδή 30. Παίρνετε ένα μερίδιο ενός σταθερού ποσού.
Ποσοστιαία μεταβολή. Η διαφορά από μια παλιά τιμή σε μια νέα, διαιρεμένη με την παλιά τιμή: (νέα − παλιά) ÷ παλιά × 100. Η μετάβαση από 80 σε 100 είναι (100 − 80) ÷ 80 × 100, δηλαδή αύξηση 25%, όχι 20%.
Ποσοστιαίες μονάδες. Η αριθμητική διαφορά δύο ποσοστών. Αν ένα επιτόκιο αποταμίευσης πάει από 5% σε 8%, έχει αυξηθεί κατά 3 ποσοστιαίες μονάδες. Έχει αυξηθεί όμως και κατά 60%, γιατί (8 − 5) ÷ 5 × 100 είναι 60. Σε ένα δάνειο, μια αύξηση του επιτοκίου κατά μία ή δύο μονάδες επηρεάζει τη μηνιαία δόση περισσότερο απ' όσο φαίνεται· ο υπολογιστής δανείου δείχνει κατά πόσο.

Οι τίτλοι συχνά δεν λένε ποια από τις δύο εννοιες εννοείται. Όταν κάποιος γράφει ότι ένας αριθμός αυξήθηκε «κατά 3%» από το 5%, ρωτήστε αν εννοεί ποσοστιαίες μονάδες ή σχετική μεταβολή. Για τους τέσσερις βασικούς τύπους, δείτε πώς υπολογίζεται ένα ποσοστό.

Γιατί η άνοδος και μετά η πτώση δεν είναι μηδέν

Πάρτε μια τιμή 100. Αύξηση 20% δίνει 120. Μείωση 20% υπολογίζεται πάνω στη νέα τιμή, 120, και όχι στην αρχική 100. Άρα η μείωση είναι το 20% του 120, δηλαδή 24, και η τιμή καταλήγει στο 96.

Βήμα	Υπολογισμός	Αποτέλεσμα
Αρχή		100
Αύξηση 20%	100 × 1,20	120
Μείωση 20%	120 × 0,80	96

Η καθαρή μεταβολή είναι −4%, όχι μηδέν. Οι δύο μεταβολές πολλαπλασιάζονται, δεν προστίθενται: 1,20 × 0,80 = 0,96. Το ίδιο φαινόμενο εξηγεί γιατί δύο διαδοχικές εκπτώσεις δεν είναι το άθροισμα των δύο ποσοστών. Έκπτωση 20% ακολουθούμενη από άλλη 10% δίνει συντελεστή 0,80 × 0,90 = 0,72, δηλαδή έκπτωση 28%, όχι 30%.

Αντίστροφα ποσοστά: από την τιμή έκπτωσης πίσω στην αρχική

Μερικές φορές γνωρίζετε την τιμή μετά την έκπτωση και θέλετε την αρχική. Διαιρέστε με τον συντελεστή, όχι με το ποσοστό έκπτωσης.

Ένα σακάκι κοστίζει 80 $ μετά από έκπτωση 20%. Ο συντελεστής είναι 0,80, άρα η αρχική τιμή είναι 80 ÷ 0,80 = 100 $.
Ένα ζευγάρι παπούτσια κοστίζει 90 $ μετά από έκπτωση 25%. Ο συντελεστής είναι 0,75, άρα η αρχική τιμή είναι 90 ÷ 0,75 = 120 $.

Συνηθισμένο λάθος είναι να προσθέσετε 20% στα 80 $ και να βρείτε 96 $. Αυτό είναι λάθος, γιατί το 20% αφαιρέθηκε από τα 100 $, όχι από τα 80 $. Ελέγξτε την απάντηση αφαιρώντας ξανά την έκπτωση: 100 $ μείον 20% είναι 80 $, άρα συμφωνεί. Για μια προσφορά με δύο διαδοχικές εκπτώσεις, ο υπολογιστής έκπτωσης εξετάζει κάθε βήμα με τη σειρά.

Ένα παράδειγμα με λογαριασμό

Ένα εστιατόριο προσθέτει service 10% σε γεύμα 60 $. Το σύνολο είναι 60 × 1,10 = 66 $. Αν ο λογαριασμός μειωθεί έπειτα κατά 10% ως χειρονομία καλής θέλησης, το αποτέλεσμα είναι 66 × 0,90 = 59,40 $, δηλαδή 0,60 $ λιγότερα από την αρχή, όχι ακριβώς 60 $. Η μείωση υπολογίστηκε στο μεγαλύτερο ποσό, γι' αυτό αφαίρεσε λίγο λιγότερα από όσα πρόσθεσε το service.

Ποσοστά επί ποσοστών

Όταν ένας συντελεστής εφαρμόζεται σε άλλον, πολλαπλασιάζετε τα δεκαδικά. Μια χρέωση 5% σε μερίδιο 40% μιας πώλησης είναι 0,05 × 0,40 = 0,02, δηλαδή 2% του συνόλου. Ο ίδιος κανόνας ισχύει για ρυθμούς ανάπτυξης. Ανάπτυξη 10% τον χρόνο για δύο χρόνια είναι 1,10 × 1,10 = 1,21, σύνολο 21%, όχι 20%.

Βήματα που αποφεύγουν τα περισσότερα λάθη

Ονομάστε τη βάση. Ρωτήστε «ποσοστό επί τίνος;» πριν υπολογίσετε.
Μετατρέψτε σε συντελεστή. Αύξηση 20% είναι × 1,20, μείωση 20% είναι × 0,80.
Πολλαπλασιάστε τους συντελεστές για μια ακολουθία μεταβολών.
Για αντιστροφή, διαιρέστε με τον συντελεστή και όχι αφαιρώντας το ποσοστό.
Ελέγξτε το αποτέλεσμα εφαρμόζοντας τη μεταβολή αντίστροφα.

Αν θέλετε να ελέγξετε γρήγορα έναν αριθμό, ο υπολογιστής ποσοστών δέχεται τη βάση και τη μεταβολή και δίνει το αποτέλεσμα, ώστε να ελέγχετε κάθε βήμα.

Πώς να το κάνετε με το fixmint

Ανοίξτε τον υπολογιστή ποσοστών και χρησιμοποιήστε τη γραμμή που ξεκινά με «Ξεκινήστε από».
Πληκτρολογήστε 100, κρατήστε το σύμβολο +, και πληκτρολογήστε 20 ως ποσοστό. Η απάντηση είναι 120.
Αλλάξτε την αρχική τιμή σε 120, επιλέξτε το σύμβολο −, και πληκτρολογήστε ξανά 20. Η απάντηση είναι 96.
Χρησιμοποιήστε τη γραμμή «Από … έως …» με τα 100 και 96 για να δείτε την καθαρή μεταβολή, η οποία είναι −4%.

Ειδικές περιπτώσεις

Μηδενικές και αρνητικές βάσεις. Η ποσοστιαία μεταβολή χρειάζεται μη μηδενική αρχική τιμή, αφού δεν μπορείτε να διαιρέσετε με το μηδέν. Μια μεταβολή από αρνητική τιμή δίνει αποτέλεσμα του οποίου το πρόσημο μπορεί να μπερδέψει, γι' αυτό συγκρίνετε απόλυτες τιμές όταν το περιγράφετε.
Στρογγυλοποίηση. Στρογγυλοποιήστε στο τέλος του υπολογισμού, όχι μετά από κάθε βήμα. Αν στρογγυλοποιήσετε το 1,1025 σε 1,10 σε κάθε στάδιο, σε μεγάλα ποσά μπορεί να μετακινηθεί το σύνολο κατά ένα σεντ ή και περισσότερο.
Φόροι και φιλοδωρήματα. Το αν ένα φιλοδώρημα ή φόρος προστίθεται πριν ή μετά από άλλο ποσοστό αλλάζει το αποτέλεσμα. Ο οδηγός για τη διαίρεση λογαριασμού καλύπτει τα φιλοδωρήματα επί συνόλου πριν και μετά από φόρους.
Σύνθετη ανάπτυξη. Οι τόκοι και η ανάπτυξη ανατοκίζονται, οπότε ένα επιτόκιο 10% δεν αθροίζεται σε 100% σε δέκα χρόνια με απλή πρόσθεση. Χρησιμοποιήστε τον συντελεστή, υψωμένο στον αριθμό των περιόδων.

Σύντομες απαντήσεις

Αν οι τιμές ανέβουν 20% και μετά πέσουν 20%, πληρώνω την αρχική τιμή;

Όχι. Η μείωση υπολογίζεται στην υψηλότερη τιμή, οπότε καταλήγετε 4% κάτω από την αρχή. Πολλαπλασιάστε τις δύο μεταβολές, 1,20 × 0,80, για να δείτε την καθαρή επίδραση.

Ποια είναι η διαφορά ανάμεσα σε ποσοστό και ποσοστιαίες μονάδες;

Η ποσοστιαία μονάδα είναι η αριθμητική διαφορά δύο ποσοστών, όπως το να πάει κάτι από 5% σε 8% σημαίνει 3 μονάδες. Η ποσοστιαία μεταβολή είναι σχετική με την αρχική τιμή, οπότε η ίδια κίνηση είναι αύξηση 60%.

Πώς βρίσκω την αρχική τιμή πριν από έκπτωση;

Διαιρέστε την τιμή της προσφοράς με ένα μείον το ποσοστό έκπτωσης. Η τιμή 80 $ μετά από έκπτωση 20% προήλθε από 80 ÷ 0,80, δηλαδή 100 $.