Erros com porcentagem: por que +20% e depois −20% não voltam ao início

Uma porcentagem é sempre uma fração de alguma coisa, e a maioria dos erros de porcentagem vem de esquecer de qual valor ela é calculada. Um aumento de 20 por cento seguido de uma queda de 20 por cento não leva você de volta ao ponto de partida, porque cada variação se aplica a uma base diferente. Descubra primeiro a base e grande parte da confusão desaparece.

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Porcentagem de, variação percentual e pontos percentuais

Três expressões parecidas têm significados diferentes:

• Porcentagem de. 20% de 150 é 0,20 × 150, que dá 30. Você está calculando uma parte de um valor fixo.
• Variação percentual. A diferença entre um valor antigo e um novo, dividida pelo valor antigo: (novo − antigo) ÷ antigo × 100. Passar de 80 para 100 é (100 − 80) ÷ 80 × 100, ou seja, um aumento de 25%, e não de 20%.
• Pontos percentuais. A diferença aritmética entre duas porcentagens. Se a taxa de uma poupança passa de 5% para 8%, ela subiu 3 pontos percentuais. Ela também subiu 60%, porque (8 − 5) ÷ 5 × 100 dá 60. Em um empréstimo, um aumento de um ou dois pontos na taxa mexe no valor da parcela mensal mais do que parece; a calculadora de empréstimo mostra quanto.

Manchetes costumam não deixar claro qual dos dois é o caso. Quando alguém diz que um número subiu "3%" depois de começar em 5%, pergunte se a pessoa quer dizer pontos ou variação relativa. Para as quatro fórmulas básicas, veja como calcular uma porcentagem.

Por que subir e depois descer não dá zero

Considere um preço de 100. Um aumento de 20% resulta em 120. Uma queda de 20% é calculada sobre o novo preço, 120, e não sobre os 100 originais. Assim, a queda é de 20% de 120, que dá 24, e o preço termina em 96.

Etapa	Cálculo	Resultado
Início		100
Subir 20%	100 × 1,20	120
Descer 20%	120 × 0,80	96

A variação líquida é −4%, e não zero. As duas variações são multiplicadas, não somadas: 1,20 × 0,80 = 0,96. O mesmo efeito explica por que dois descontos sucessivos não equivalem à soma das duas porcentagens. Um desconto de 20% seguido de mais 10% tem um multiplicador de 0,80 × 0,90 = 0,72, ou seja, 28% de desconto, e não 30%.

Porcentagens reversas: voltando a partir de um preço com desconto

Às vezes você conhece o preço de venda e precisa descobrir o original. Divida pelo multiplicador, e não pelo desconto.

• Uma jaqueta custa US$ 80 com 20% de desconto. O multiplicador é 0,80, então o original é 80 ÷ 0,80 = US$ 100.
• Um par de tênis custa US$ 90 com 25% de desconto. O multiplicador é 0,75, então o original é 90 ÷ 0,75 = US$ 120.

Um erro comum é somar 20% a US$ 80 e chegar a US$ 96. Isso está errado, porque os 20% foram calculados sobre US$ 100, e não sobre US$ 80. Confira o resultado aplicando o desconto de novo: US$ 100 menos 20% dá US$ 80, o que confirma a conta. Para uma promoção com dois descontos em sequência, a calculadora de desconto mostra cada etapa na ordem.

Um exemplo prático com a conta

Um restaurante cobra 10% de taxa de serviço sobre uma refeição de R$ 60. O total fica 60 × 1,10 = R$ 66. Se a conta for reduzida em 10% como cortesia, o resultado é 66 × 0,90 = R$ 59,40, que é R$ 0,60 a menos que o valor original, e não um retorno exato a R$ 60. A redução incidiu sobre o valor maior, então eliminou um pouco menos do que o serviço acrescentou.

Porcentagens de porcentagens

Quando uma taxa é aplicada sobre outra, multiplique os decimais. Uma taxa de 5% sobre uma fatia de 40% de uma venda é 0,05 × 0,40 = 0,02, ou seja, 2% do total. A mesma regra vale para taxas de crescimento. Um crescimento de 10% ao ano durante dois anos é 1,10 × 1,10 = 1,21, um total de 21%, e não de 20%.

Etapas que evitam a maioria dos erros

1. Defina a base. Pergunte "porcentagem de quê?" antes de calcular.
2. Converta para multiplicador. Subir 20% é × 1,20; descer 20% é × 0,80.
3. Multiplique os multiplicadores em uma sequência de variações.
4. Para reverter, divida pelo multiplicador, e não subtraia a porcentagem.
5. Confira o resultado aplicando a variação no sentido contrário.

Se quiser testar um número rapidamente, a calculadora de porcentagem recebe a base e a variação, devolve o resultado e permite conferir cada etapa.

Como fazer no fixmint

1. Abra a calculadora de porcentagem e use a linha que começa com "Começar com".
2. Digite 100, mantenha o sinal de +, e digite 20 como porcentagem. A resposta é 120.
3. Troque o valor inicial para 120, mude para o sinal de menos e digite 20 de novo. A resposta é 96.
4. Use a linha "De … para …" com 100 e 96 para ver a variação líquida, que é −4%.

Casos especiais

• Bases zero e negativas. Uma variação percentual precisa de um valor inicial diferente de zero, já que não é possível dividir por zero. Uma variação a partir de um valor negativo gera um resultado cujo sinal pode confundir, então compare os valores absolutos ao descrevê-la.
• Arredondamento. Arredonde no fim do cálculo, e não a cada etapa. Arredondar 1,1025 para 1,10 em cada estágio pode alterar um total em um centavo ou mais em somas grandes.
• Impostos e gorjetas. Se uma gorjeta ou um imposto é somado antes ou depois de outra porcentagem, o resultado muda. O guia para dividir a conta trata de gorjetas sobre totais com e sem impostos.
• Crescimento composto. Juros e crescimento se compõem, então uma taxa de 10% não soma 100% em dez anos por adição simples. Use o multiplicador elevado ao número de períodos.

Respostas rápidas

Se os preços sobem 20% e depois descem 20%, eu pago o preço original?

Não. A queda incide sobre o preço mais alto, então você termina 4% abaixo do início. Multiplique as duas variações, 1,20 × 0,80, para ver o efeito líquido.

Qual é a diferença entre porcentagem e pontos percentuais?

Um ponto percentual é a diferença aritmética entre duas porcentagens, como ir de 5% para 8%, que representa 3 pontos. Uma variação percentual é relativa ao valor inicial, então o mesmo movimento corresponde a um aumento de 60%.

Como descubro o preço original antes de um desconto?

Divida o preço de venda por um menos a taxa de desconto. Um preço de US$ 80 depois de 20% de desconto veio de 80 ÷ 0,80, que dá US$ 100.