Errores con porcentajes: por qué +20 % y luego −20 % no te devuelve al inicio

Un porcentaje siempre es una fracción de algo, y la mayoría de los errores con porcentajes vienen de olvidar de qué cantidad se calcula. Una subida del 20 % seguida de una bajada del 20 % no te devuelve al punto de partida, porque cada cambio se aplica sobre una base distinta. Si primero identificas la base, gran parte de la confusión desaparece.

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Porcentaje de, variación porcentual y puntos porcentuales

Tres expresiones suenan parecido, pero significan cosas distintas:

• Porcentaje de. El 20 % de 150 es 0,20 × 150, que es 30. Estás calculando una parte de una cantidad fija.
• Variación porcentual. El cambio entre un valor antiguo y uno nuevo, dividido entre el valor antiguo: (nuevo − antiguo) ÷ antiguo × 100. Pasar de 80 a 100 es (100 − 80) ÷ 80 × 100, es decir, una subida del 25 %, no del 20 %.
• Puntos porcentuales. La diferencia aritmética entre dos porcentajes. Si un tipo de ahorro pasa del 5 % al 8 %, ha subido 3 puntos porcentuales. Pero también ha subido un 60 %, porque (8 − 5) ÷ 5 × 100 es 60. En un préstamo, una subida de uno o dos puntos en el tipo modifica la cuota mensual más de lo que parece; la calculadora de préstamos te muestra cuánto.

Los titulares suelen omitir a cuál de los dos se refieren. Cuando alguien dice que una cifra subió «un 3 %» partiendo del 5 %, pregúntate si habla de puntos o de una variación relativa. Para las cuatro fórmulas básicas, consulta cómo calcular un porcentaje.

Por qué subir y luego bajar no da cero

Imagina un precio de 100. Una subida del 20 % lo deja en 120. Una bajada del 20 % se calcula sobre el nuevo precio, 120, no sobre los 100 originales. Así, la bajada es el 20 % de 120, es decir, 24, y el precio termina en 96.

Paso	Cálculo	Resultado
Inicio		100
Sube 20 %	100 × 1,20	120
Baja 20 %	120 × 0,80	96

La variación neta es −4 %, no cero. Los dos cambios se multiplican, no se suman: 1,20 × 0,80 = 0,96. El mismo efecto explica por qué dos descuentos seguidos no equivalen a la suma de sus porcentajes. Un descuento del 20 % seguido de otro 10 % equivale a un multiplicador de 0,80 × 0,90 = 0,72, es decir, un 28 % de descuento, no un 30 %.

Porcentajes inversos: calcular el precio original a partir del precio rebajado

A veces conoces el precio de oferta y necesitas el original. Divide entre el multiplicador, no entre el descuento.

• Una chaqueta cuesta 80 $ tras un 20 % de descuento. El multiplicador es 0,80, así que el precio original es 80 ÷ 0,80 = 100 $.
• Unos zapatos cuestan 90 $ tras un 25 % de descuento. El multiplicador es 0,75, así que el precio original es 90 ÷ 0,75 = 120 $.

Un error habitual es sumar el 20 % a 80 $ y obtener 96 $. Está mal, porque el 20 % se calculó sobre 100 $, no sobre 80 $. Comprueba el resultado quitando el descuento otra vez: 100 $ menos el 20 % son 80 $, así que cuadra. Si una oferta tiene dos descuentos encadenados, la calculadora de descuentos resuelve cada paso en orden.

Un ejemplo práctico con la cuenta

Un restaurante añade un 10 % de servicio a una comida de 60 $. El total es 60 × 1,10 = 66 $. Si después se reduce la cuenta un 10 % como detalle, el resultado es 66 × 0,90 = 59,40 $, que son 0,60 $ menos que los 60 $ originales, y no una vuelta exacta al importe inicial. La rebaja se aplicó sobre la cantidad mayor, así que eliminó un poco menos de lo que sumó el servicio.

Porcentajes de porcentajes

Cuando un porcentaje se aplica sobre otro, multiplica los decimales. Una comisión del 5 % sobre el 40 % de una venta es 0,05 × 0,40 = 0,02, es decir, el 2 % del total. La misma regla vale para las tasas de crecimiento. Un crecimiento del 10 % anual durante dos años es 1,10 × 1,10 = 1,21, un total del 21 %, no del 20 %.

Pasos para evitar la mayoría de errores

1. Identifica la base. Pregúntate «¿porcentaje de qué?» antes de calcular.
2. Conviértelo en multiplicador. Subir un 20 % es × 1,20; bajar un 20 % es × 0,80.
3. Multiplica los multiplicadores para una secuencia de cambios.
4. Para deshacer un cambio, divide entre el multiplicador, no restes el porcentaje.
5. Comprueba el resultado aplicando el cambio en sentido contrario.

Si quieres verificar una cifra rápidamente, la calculadora de porcentajes toma la base y el cambio, y te da el resultado para que compruebes cada paso.

Cómo hacerlo con fixmint

1. Abre la calculadora de porcentajes y usa la fila que empieza por «Partir de».
2. Escribe 100, mantén el signo +, e introduce 20 como porcentaje. El resultado es 120.
3. Cambia el valor inicial a 120, pasa al signo menos e introduce de nuevo 20. El resultado es 96.
4. Usa la fila «De … a …» con 100 y 96 para ver la variación neta, que es −4 %.

Casos límite

• Bases cero y negativas. Una variación porcentual necesita un valor inicial distinto de cero, porque no se puede dividir entre cero. Un cambio desde un valor negativo produce un resultado cuyo signo puede confundir, así que compara valores absolutos cuando lo describas.
• Redondeo. Redondea al final del cálculo, no después de cada paso. Redondear 1,1025 a 1,10 en cada etapa puede alterar un total en un céntimo o más en cantidades grandes.
• Impuestos y propinas. Que una propina o un impuesto se añada antes o después de otro porcentaje cambia el resultado. La guía para dividir la cuenta explica las propinas sobre importes con y sin impuestos.
• Crecimiento compuesto. Los intereses y el crecimiento se componen, así que una tasa del 10 % no suma un 100 % en diez años si se suma de forma simple. Usa el multiplicador elevado al número de periodos.

Respuestas rápidas

Si los precios suben un 20 % y luego bajan un 20 %, ¿pago el precio original?

No. La bajada se calcula sobre el precio más alto, así que terminas un 4 % por debajo del inicio. Multiplica los dos cambios, 1,20 × 0,80, para ver el efecto neto.

¿Cuál es la diferencia entre porcentaje y puntos porcentuales?

Un punto porcentual es la diferencia aritmética entre dos porcentajes; por ejemplo, pasar del 5 % al 8 % son 3 puntos. Una variación porcentual se calcula respecto al valor inicial, así que ese mismo movimiento equivale a una subida del 60 %.

¿Cómo calculo el precio original antes de un descuento?

Divide el precio de oferta entre uno menos la tasa de descuento. Un precio de 80 $ tras un 20 % de descuento proviene de 80 ÷ 0,80, que son 100 $.