Prozentfehler: Warum +20 % und dann −20 % dich nicht zurückbringen

Ein Prozentwert bezieht sich immer auf einen Grundwert, und die meisten Prozentfehler entstehen, weil man vergisst, worauf sich der Prozentsatz bezieht. Eine Erhöhung um 20 Prozent gefolgt von einer Senkung um 20 Prozent bringt dich nicht zum Ausgangswert zurück, weil sich jede Änderung auf einen anderen Grundwert bezieht. Wenn du zuerst den Grundwert klärst, verschwindet der größte Teil der Verwirrung.

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Prozent von, prozentuale Änderung und Prozentpunkte

Drei Begriffe klingen ähnlich, bedeuten aber etwas anderes:

• Prozent von. 20 % von 150 sind 0,20 × 150, also 30. Du nimmst einen Anteil von einem festen Betrag.
• Prozentuale Änderung. Die Differenz zwischen altem und neuem Wert, geteilt durch den alten Wert: (neu − alt) ÷ alt × 100. Von 80 auf 100 ist (100 − 80) ÷ 80 × 100, also ein Anstieg um 25 %, nicht um 20 %.
• Prozentpunkte. Die reine Differenz zwischen zwei Prozentwerten. Steigt ein Sparzins von 5 % auf 8 %, ist er um 3 Prozentpunkte gestiegen. Relativ gesehen ist er aber auch um 60 % gestiegen, denn (8 − 5) ÷ 5 × 100 ergibt 60. Bei einem Kredit wirkt sich ein Anstieg des Zinssatzes um einen oder zwei Punkte stärker auf die monatliche Rate aus, als es klingt. Der Kreditrechner zeigt dir, wie stark.

In Schlagzeilen bleibt oft offen, was gemeint ist. Wenn es heißt, eine Quote sei „um 3 %“ gestiegen, nachdem sie bei 5 % lag, frag nach, ob Prozentpunkte oder eine relative Änderung gemeint sind. Die vier Grundformeln findest du unter wie du einen Prozentwert berechnest.

Warum rauf und dann runter nicht null ergibt

Nimm einen Preis von 100. Eine Erhöhung um 20 % ergibt 120. Eine Senkung um 20 % wird vom neuen Preis berechnet, also von 120, nicht vom ursprünglichen Preis von 100. Die Senkung beträgt also 20 % von 120, das sind 24, und der Preis endet bei 96.

Schritt	Rechnung	Ergebnis
Start		100
Rauf 20 %	100 × 1,20	120
Runter 20 %	120 × 0,80	96

Die Gesamtänderung beträgt −4 %, nicht null. Die beiden Änderungen werden multipliziert, nicht addiert: 1,20 × 0,80 = 0,96. Derselbe Effekt erklärt, warum zwei aufeinanderfolgende Rabatte nicht einfach die Summe der beiden Prozentsätze sind. Ein Rabatt von 20 % gefolgt von weiteren 10 % entspricht dem Faktor 0,80 × 0,90 = 0,72, also 28 % Rabatt, nicht 30 %.

Prozentrechnung rückwärts: vom reduzierten Preis zum Originalpreis

Manchmal kennst du den Angebotspreis und brauchst den ursprünglichen Preis. Dann teilst du durch den Faktor, nicht durch den Rabatt.

• Eine Jacke kostet nach 20 % Rabatt $80. Der Faktor ist 0,80, also ist der Originalpreis 80 ÷ 0,80 = $100.
• Ein Paar Schuhe kostet nach 25 % Rabatt $90. Der Faktor ist 0,75, also ist der Originalpreis 90 ÷ 0,75 = $120.

Ein typischer Fehler ist, 20 % auf $80 aufzuschlagen und $96 zu erhalten. Das ist falsch, denn die 20 % wurden von $100 berechnet, nicht von $80. Prüfe dein Ergebnis, indem du den Rabatt wieder abziehst: $100 minus 20 % sind $80, das passt. Bei einem Angebot mit zwei gestaffelten Rabatten geht der Rabattrechner jeden Schritt der Reihe nach durch.

Ein Rechenbeispiel mit einer Rechnung

Ein Restaurant schlägt auf eine Mahlzeit von $60 zehn Prozent Bedienungsgeld auf. Die Summe beträgt 60 × 1,10 = $66. Wird die Rechnung danach aus Kulanz um 10 % gesenkt, ergibt sich 66 × 0,90 = $59,40. Das sind $0,60 weniger als der ursprüngliche Betrag, nicht genau die $60 vom Anfang. Der Nachlass wurde vom größeren Betrag berechnet, daher hat er etwas weniger abgezogen, als das Bedienungsgeld aufgeschlagen hat.

Prozente von Prozenten

Wenn ein Satz auf einen anderen angewendet wird, multiplizierst du die Dezimalzahlen. Eine Gebühr von 5 % auf einen Anteil von 40 % am Umsatz ist 0,05 × 0,40 = 0,02, also 2 % der Gesamtsumme. Dieselbe Regel gilt für Wachstumsraten. Ein Wachstum von 10 % pro Jahr über zwei Jahre ist 1,10 × 1,10 = 1,21, insgesamt also 21 %, nicht 20 %.

Schritte, mit denen du die meisten Fehler vermeidest

1. Grundwert festlegen. Frag dich vor dem Rechnen: „Prozent wovon?“
2. In einen Faktor umrechnen. 20 % Anstieg ergibt × 1,20, 20 % Rückgang ergibt × 0,80.
3. Bei einer Folge von Änderungen die Faktoren miteinander multiplizieren.
4. Rückwärts rechnen, indem du durch den Faktor teilst, nicht den Prozentsatz abziehst.
5. Das Ergebnis prüfen, indem du die Änderung in umgekehrter Richtung anwendest.

Wenn du einen Wert schnell überprüfen willst, nimmt der Prozentrechner den Grundwert und die Änderung entgegen und liefert das Ergebnis, sodass du jeden Schritt kontrollieren kannst.

So geht es mit fixmint

1. Öffne den Prozentrechner und nutze die Zeile, die mit „Ausgangswert“ beginnt.
2. Gib 100 ein, lass das Plus-Zeichen stehen und gib als Prozentsatz 20 ein. Das Ergebnis ist 120.
3. Ändere den Ausgangswert auf 120, wechsle auf das Minus-Zeichen und gib wieder 20 ein. Das Ergebnis ist 96.
4. Nutze die Zeile „Von … bis …“ mit 100 und 96, um die Gesamtänderung zu sehen, sie beträgt −4 %.

Sonderfälle

• Null und negative Grundwerte. Bei einer prozentualen Änderung braucht man einen Startwert ungleich null, da man nicht durch null teilen kann. Eine Änderung ausgehend von einem negativen Wert liefert ein Vorzeichen, das Verwirrung stiften kann. Vergleiche daher die Beträge ohne Vorzeichen, wenn du sie beschreibst.
• Rundung. Runde erst am Ende einer Rechnung, nicht nach jedem Schritt. Wird 1,1025 bei jedem Zwischenschritt auf 1,10 gerundet, kann sich bei großen Summen die Gesamtsumme um einen Cent oder mehr verschieben.
• Steuern und Trinkgeld. Ob ein Trinkgeld oder eine Steuer vor oder nach einem anderen Prozentsatz hinzugerechnet wird, verändert das Ergebnis. Der Leitfaden zum fairen Rechnung aufteilen erklärt Trinkgeld bei Summen vor und nach Steuern.
• Zinseszins. Zinsen und Wachstum werden verzinst. Ein Satz von 10 % ergibt über zehn Jahre daher nicht durch einfache Addition 100 %. Verwende den Faktor, hoch die Anzahl der Perioden gerechnet.

Schnelle Antworten

Wenn Preise erst um 20 % steigen und dann um 20 % fallen, zahle ich dann den ursprünglichen Preis?

Nein. Die Senkung wird vom höheren Preis berechnet, daher liegst du am Ende 4 % unter dem Ausgangswert. Multipliziere die beiden Änderungen, 1,20 × 0,80, um den Gesamteffekt zu sehen.

Was ist der Unterschied zwischen Prozent und Prozentpunkten?

Ein Prozentpunkt ist die reine Differenz zwischen zwei Prozentwerten, etwa 3 Punkte beim Sprung von 5 % auf 8 %. Eine prozentuale Änderung bezieht sich auf den Ausgangswert, dieselbe Bewegung ist also ein Anstieg um 60 %.

Wie finde ich den ursprünglichen Preis vor einem Rabatt?

Teile den Angebotspreis durch eins minus Rabattsatz. Ein Preis von $80 nach 20 % Rabatt stammt aus $80 ÷ 0,80, also $100.