Erreurs de pourcentage : pourquoi +20 % puis −20 % ne revient pas au départ

Un pourcentage est toujours une fraction de quelque chose, et la plupart des erreurs viennent de l'oubli de ce « quelque chose » qui sert de base. Une hausse de 20 % suivie d'une baisse de 20 % ne vous ramène pas au point de départ, car chaque variation s'applique à une base différente. Déterminez d'abord la base, et la plupart des confusions disparaissent.

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Pourcentage de, variation en pourcentage et points de pourcentage

Trois expressions se ressemblent et ne veulent pas dire la même chose :

• Pourcentage de. 20 % de 150 correspond à 0,20 × 150, soit 30. Vous prenez une part d'un montant fixe.
• Variation en pourcentage. L'écart entre une ancienne valeur et une nouvelle, divisé par l'ancienne valeur : (nouvelle − ancienne) ÷ ancienne × 100. Passer de 80 à 100 donne (100 − 80) ÷ 80 × 100, soit une hausse de 25 %, et non de 20 %.
• Points de pourcentage. La différence arithmétique entre deux pourcentages. Si un taux d'épargne passe de 5 % à 8 %, il a augmenté de 3 points de pourcentage. Il a aussi progressé de 60 %, car (8 − 5) ÷ 5 × 100 vaut 60. Sur un prêt, une hausse d'un ou deux points du taux fait varier la mensualité plus qu'on ne le pense ; le calculateur de prêt montre de combien.

Les titres de presse omettent souvent de préciser le sens. Quand on lit qu'un chiffre a augmenté « de 3 % » après être passé de 5 %, demandez-vous s'il s'agit de points ou d'une variation relative. Pour les quatre formules de base, consultez comment calculer un pourcentage.

Pourquoi monter puis descendre ne revient pas à zéro

Prenons un prix de 100. Une hausse de 20 % donne 120. Une baisse de 20 % se calcule sur le nouveau prix, 120, et non sur le prix initial de 100. La baisse vaut donc 20 % de 120, soit 24, et le prix finit à 96.

Étape	Calcul	Résultat
Départ		100
Hausse de 20 %	100 × 1,20	120
Baisse de 20 %	120 × 0,80	96

La variation nette est de −4 %, et non de zéro. Les deux variations se multiplient au lieu de s'additionner : 1,20 × 0,80 = 0,96. Le même effet explique pourquoi deux remises successives ne s'additionnent pas. Une remise de 20 % suivie d'une nouvelle remise de 10 % correspond à un coefficient de 0,80 × 0,90 = 0,72, soit 28 % de réduction, et non 30 %.

Pourcentages inverses : remonter d'un prix soldé au prix initial

Il arrive que vous connaissiez le prix soldé et que vous cherchiez le prix d'origine. Divisez par le coefficient multiplicateur, et non par le pourcentage de remise.

• Une veste coûte 80 $ après une remise de 20 %. Le coefficient est 0,80, donc le prix d'origine est 80 ÷ 0,80 = 100 $.
• Une paire de chaussures coûte 90 $ après une remise de 25 %. Le coefficient est 0,75, donc le prix d'origine est 90 ÷ 0,75 = 120 $.

Une erreur fréquente consiste à ajouter 20 % à 80 $ et à obtenir 96 $. C'est faux, car les 20 % ont été prélevés sur 100 $, et non sur 80 $. Vérifiez votre résultat en retirant de nouveau la remise : 100 $ moins 20 % font 80 $, ce qui correspond. Pour une soldé avec deux remises cumulées, le calculateur de remise détaille chaque étape dans l'ordre.

Un exemple concret avec l'addition

Un restaurant ajoute 10 % de service à un repas de 60 $. Le total est 60 × 1,10 = 66 $. Si l'addition est ensuite réduite de 10 % en geste commercial, le résultat est 66 × 0,90 = 59,40 $, soit 0,60 $ de moins que le montant initial, et non un retour exact à 60 $. La réduction a porté sur le montant le plus élevé, elle a donc effacé un peu moins que ce que le service avait ajouté.

Pourcentages de pourcentages

Quand un taux s'applique à un autre, multipliez les décimaux. Des frais de 5 % sur une part de 40 % d'une vente valent 0,05 × 0,40 = 0,02, soit 2 % du total. La même règle vaut pour les taux de croissance. Une croissance de 10 % par an pendant deux ans donne 1,10 × 1,10 = 1,21, soit un total de 21 %, et non 20 %.

Les étapes qui évitent la plupart des erreurs

1. Identifiez la base. Demandez-vous « pourcentage de quoi ? » avant de calculer.
2. Convertissez en coefficient. Une hausse de 20 % correspond à × 1,20, une baisse de 20 % à × 0,80.
3. Multipliez les coefficients pour une succession de variations.
4. Pour revenir en arrière, divisez par le coefficient, au lieu de soustraire le pourcentage.
5. Vérifiez le résultat en appliquant la variation dans l'autre sens.

Si vous voulez tester rapidement un chiffre, le calculateur de pourcentage prend la base et la variation et donne le résultat, ce qui vous permet de vérifier chaque étape.

Comment faire avec fixmint

1. Ouvrez le calculateur de pourcentage et utilisez la ligne qui commence par « Partir de ».
2. Saisissez 100, gardez le signe + et saisissez 20 comme pourcentage. Le résultat est 120.
3. Remplacez la valeur de départ par 120, passez au signe moins et saisissez à nouveau 20. Le résultat est 96.
4. Utilisez la ligne « De … à … » avec 100 et 96 pour voir la variation nette, soit −4 %.

Cas limites

• Bases nulles et négatives. Une variation en pourcentage nécessite une valeur de départ non nulle, car on ne peut pas diviser par zéro. Une variation à partir d'une valeur négative donne un résultat dont le signe peut prêter à confusion ; comparez donc les valeurs absolues quand vous la décrivez.
• Arrondis. Arrondissez à la fin du calcul, et non après chaque étape. Arrondir 1,1025 à 1,10 à chaque stade peut modifier un total d'un centime ou plus sur de grosses sommes.
• Taxes et pourboires. Ajouter un pourboire ou une taxe avant ou après un autre pourcentage change le résultat. Le guide pour partager l'addition explique les pourboires calculés sur un total hors taxes ou avec taxes.
• Croissance composée. Les intérêts et la croissance se composent : un taux de 10 % ne fait pas 100 % sur dix ans par simple addition. Utilisez le coefficient, élevé au nombre de périodes.

Réponses rapides

Si les prix augmentent de 20 % puis baissent de 20 %, est-ce que je paie le prix d'origine ?

Non. La baisse se calcule sur le prix le plus élevé, vous finissez donc 4 % sous le départ. Multipliez les deux variations, 1,20 × 0,80, pour voir l'effet net.

Quelle est la différence entre pourcentage et points de pourcentage ?

Un point de pourcentage est la différence arithmétique entre deux pourcentages : passer de 5 % à 8 % représente 3 points. Une variation en pourcentage se calcule par rapport à la valeur de départ, donc ce même passage correspond à une hausse de 60 %.

Comment retrouver le prix d'origine avant une remise ?

Divisez le prix soldé par un moins le taux de remise. Un prix de 80 $ après 20 % de remise correspond à 80 $ ÷ 0,80, soit 100 $.