Errori con le percentuali: perché +20% e poi −20% non torna al punto di partenza

Una percentuale è sempre una frazione di qualcosa, e la maggior parte degli errori nasce dal dimenticare da quale valore si parte. Un aumento del 20% seguito da una diminuzione del 20% non riporta al punto di partenza, perché ogni variazione si applica a una base diversa. Se individui prima la base, gran parte della confusione scompare.

Calcolatore di percentualiQuanto fa la percentuale, esattamente?Usalo gratis

Percentuale di, variazione percentuale e punti percentuali

Tre espressioni suonano simili ma significano cose diverse:

• Percentuale di. Il 20% di 150 è 0,20 × 150, cioè 30. Stai prendendo una quota di una cifra fissa.
• Variazione percentuale. La differenza tra il valore vecchio e quello nuovo, divisa per il valore vecchio: (nuovo − vecchio) ÷ vecchio × 100. Passare da 80 a 100 significa (100 − 80) ÷ 80 × 100, cioè un aumento del 25%, non del 20%.
• Punti percentuali. La differenza aritmetica tra due percentuali. Se un tasso di risparmio passa dal 5% all'8%, è salito di 3 punti percentuali. Ma è anche aumentato del 60%, perché (8 − 5) ÷ 5 × 100 fa 60. Su un prestito, un aumento di uno o due punti del tasso incide sulla rata mensile più di quanto sembri; il calcolatore di prestiti ti mostra di quanto.

Nei titoli spesso non si specifica quale dei due significati si intende. Quando qualcuno scrive che una cifra è cresciuta "del 3%" partendo dal 5%, chiedi se si parla di punti o di variazione relativa. Per le quattro formule di base, vedi come calcolare una percentuale.

Perché salire e poi scendere non fa zero

Prendi un prezzo di 100. Un aumento del 20% porta a 120. Una diminuzione del 20% si calcola sul nuovo prezzo, 120, e non sui 100 iniziali. Quindi la diminuzione è il 20% di 120, cioè 24, e il prezzo finale è 96.

Passaggio	Calcolo	Risultato
Partenza		100
Su del 20%	100 × 1,20	120
Giù del 20%	120 × 0,80	96

La variazione netta è −4%, non zero. Le due variazioni si moltiplicano, non si sommano: 1,20 × 0,80 = 0,96. Lo stesso effetto spiega perché due sconti consecutivi non si sommano semplicemente. Uno sconto del 20% seguito da un ulteriore 10% corrisponde a un moltiplicatore di 0,80 × 0,90 = 0,72, cioè uno sconto del 28%, non del 30%.

Percentuali inverse: risalire dal prezzo scontato

A volte conosci il prezzo di saldo e ti serve quello originale. Dividi per il moltiplicatore, non per la percentuale di sconto.

• Una giacca costa 80 $ dopo uno sconto del 20%. Il moltiplicatore è 0,80, quindi il prezzo originale è 80 ÷ 0,80 = 100 $.
• Un paio di scarpe costa 90 $ dopo uno sconto del 25%. Il moltiplicatore è 0,75, quindi il prezzo originale è 90 ÷ 0,75 = 120 $.

Un errore comune è aggiungere il 20% a 80 $ e ottenere 96 $. È sbagliato, perché il 20% era calcolato su 100 $, non su 80 $. Verifica il risultato togliendo di nuovo lo sconto: 100 $ meno il 20% fa 80 $, e il conto torna. Per un saldo con due sconti sovrapposti, il calcolatore di sconti svolge ogni passaggio in ordine.

Un esempio pratico con il conto al ristorante

Un ristorante aggiunge un 10% di servizio a un pasto da 60 $. Il totale è 60 × 1,10 = 66 $. Se poi il conto viene ridotto del 10% come gesto di cortesia, il risultato è 66 × 0,90 = 59,40 $, cioè 0,60 $ in meno rispetto all'importo iniziale, e non un ritorno esatto a 60 $. La riduzione è stata calcolata sull'importo più alto, quindi ha tolto un po' meno di quanto il servizio aveva aggiunto.

Percentuali di percentuali

Quando una percentuale si applica a un'altra, moltiplica i decimali. Una commissione del 5% su una quota del 40% di una vendita è 0,05 × 0,40 = 0,02, cioè il 2% del totale. La stessa regola vale per i tassi di crescita. Una crescita del 10% annuo per due anni è 1,10 × 1,10 = 1,21, cioè un totale del 21%, non del 20%.

Passaggi che evitano quasi tutti gli errori

1. Individua la base. Chiediti "percentuale di che cosa?" prima di calcolare.
2. Trasforma in moltiplicatore. Un aumento del 20% diventa × 1,20, una diminuzione del 20% diventa × 0,80.
3. Moltiplica i moltiplicatori per una sequenza di variazioni.
4. Per invertire, dividi per il moltiplicatore, non sottrai la percentuale.
5. Verifica il risultato applicando la variazione in senso opposto.

Se vuoi controllare rapidamente una cifra, il calcolatore di percentuali prende la base e la variazione e restituisce il risultato, così puoi verificare ogni passaggio.

Come farlo con fixmint

1. Apri il calcolatore di percentuali e usa la riga che inizia con "Parti da".
2. Scrivi 100, mantieni il segno +, e inserisci 20 come percentuale. Il risultato è 120.
3. Cambia il valore iniziale in 120, passa al segno meno e inserisci di nuovo 20. Il risultato è 96.
4. Usa la riga "Da … a …" con 100 e 96 per vedere la variazione netta, che è −4%.

Casi limite

• Basi zero e negative. Una variazione percentuale richiede un valore di partenza diverso da zero, perché non si può dividere per zero. Una variazione a partire da un valore negativo produce un risultato il cui segno può confondere, quindi nel descriverla confronta i valori assoluti.
• Arrotondamenti. Arrotonda alla fine del calcolo, non dopo ogni passaggio. Arrotondare 1,1025 a 1,10 a ogni fase può spostare un totale di un centesimo o più su somme elevate.
• Tasse e mance. Se una mancia o una tassa si aggiunge prima o dopo un'altra percentuale, il risultato cambia. La guida alla divisione del conto spiega come gestire le mance su totali al lordo e al netto delle tasse.
• Crescita composta. Interessi e crescita si compongono, quindi un tasso del 10% non diventa il 100% in dieci anni con una semplice somma. Usa il moltiplicatore, elevato al numero di periodi.

Risposte rapide

Se i prezzi salgono del 20% e poi scendono del 20%, pago il prezzo originale?

No. La diminuzione si calcola sul prezzo più alto, quindi finisci il 4% sotto il valore di partenza. Moltiplica le due variazioni, 1,20 × 0,80, per vedere l'effetto netto.

Qual è la differenza tra percentuale e punti percentuali?

Un punto percentuale è la differenza aritmetica tra due percentuali: passare dal 5% all'8% equivale a 3 punti. Una variazione percentuale è riferita al valore iniziale, quindi lo stesso spostamento è un aumento del 60%.

Come trovo il prezzo originale prima di uno sconto?

Dividi il prezzo di saldo per uno meno il tasso di sconto. Un prezzo di 80 $ dopo uno sconto del 20% deriva da 80 ÷ 0,80, cioè 100 $.