割合の計算ミス：+20%の後に−20%しても元に戻らない理由

割合は常に何かの一部分を表します。そのため、割合の計算ミスの多くは「何を基準にしているのか」を見落とすことから起きます。20%上がった後に20%下がっても、元の値には戻りません。変化のたびに基準が変わるからです。まず基準を確認すれば、多くの混乱は解消します。

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「〜の何%」「変化率」「パーセンテージポイント」

似た言い方でも、意味はそれぞれ異なります。

• 「〜の何%」。 150の20%は0.20 × 150で、30です。決まった量の一部を取り出しています。
• 変化率。 元の値から新しい値への変化を、元の値で割ったものです。(新しい値 − 元の値) ÷ 元の値 × 100で求めます。80から100への変化は(100 − 80) ÷ 80 × 100で、20%ではなく25%の上昇になります。
• パーセンテージポイント。 2つの割合の差そのものです。預金金利が5%から8%に変わった場合、3パーセンテージポイント上がったことになります。一方で、(8 − 5) ÷ 5 × 100は60なので、変化率では60%上がったことにもなります。ローンでは、金利が1〜2ポイント上がるだけでも月々の返済額は想像以上に増えます。ローン計算機で、その差を確認できます。

見出しでは、どちらの意味かが書かれていないことがよくあります。5%から始まった数値が「3%上昇」と報じられていたら、それがポイントの差なのか変化率なのかを確認しましょう。基本の4つの計算式は割合の求め方で解説しています。

上げてから下げても0にならない理由

価格が100だとします。20%上がると120になります。その後20%下がると、元の100からではなく、新しい価格の120を基準に計算します。したがって下がる額は120の20%で、24です。最終的な価格は96になります。

手順	計算	結果
開始		100
20%上昇	100 × 1.20	120
20%下落	120 × 0.80	96

正味の変化は−4%で、0ではありません。2つの変化は足すのではなく掛け合わせます。1.20 × 0.80 = 0.96です。同じ理由で、連続する2つの割引を2つの割合の和として扱うことはできません。20%引きの後にさらに10%引くと、掛け率は0.80 × 0.90 = 0.72となり、30%引きではなく28%引きになります。

逆算：割引後の価格から元の値段を求める

セール価格はわかっているものの、元の値段が知りたい場合があります。その際は割引率ではなく、掛け率で割ります。

• ジャケットは20%引きで80ドルです。掛け率は0.80なので、元の値段は80 ÷ 0.80 = 100ドルです。
• 靴は25%引きで90ドルです。掛け率は0.75なので、元の値段は90 ÷ 0.75 = 120ドルです。

よくある間違いは、80ドルに20%を足して96ドルとしてしまうことです。これは誤りです。20%は80ドルではなく100ドルから引かれていたからです。答えを確かめるには、100ドルから20%引いてみます。80ドルになり、一致します。割引が2回重なるセールの場合は、割引計算機で一つずつ順番に計算できます。

請求額を使った計算例

レストランで60ドルの食事に10%のサービス料が加算されたとします。合計は60 × 1.10 = 66ドルです。その後、お詫びとして請求額が10%減額されると、結果は66 × 0.90 = 59.40ドルになります。元の60ドルより0.60ドル少なく、ちょうど元に戻るわけではありません。減額は大きい方の金額から行われたため、加算されたサービス料より減った分がわずかに少なかったのです。

割合の割合

ある割合を別の割合に適用する場合は、小数どうしを掛け合わせます。売上の40%に対して5%の手数料がかかる場合、0.05 × 0.40 = 0.02で、全体の2%になります。成長率にも同じルールが当てはまります。2年間、毎年10%ずつ成長すると、1.10 × 1.10 = 1.21で、合計は20%ではなく21%の増加です。

ほとんどの誤りを防ぐ手順

1. 基準を決める。計算する前に「何の何%か」を確認します。
2. 掛け率に変換する。20%増は × 1.20、20%減は × 0.80です。
3. 一連の変化は、掛け率を順に掛け合わせます。
4. 逆算では割合を引かず、掛け率で割ります。
5. 逆方向に適用して結果を確かめます。

数値をすばやく確かめたい場合は、パーセント計算に基準値と変化を入力すると結果が表示されるので、各手順を検証できます。

fixmintでの使い方

1. パーセント計算を開き、「開始値から」の行を使います。
2. 100を入力し、+の記号のまま、割合に20を入力します。答えは120です。
3. 開始値を120に変え、記号を−にして、もう一度20を入力します。答えは96です。
4. 100と96を使って「〜から〜へ」の行に入力すると、正味の変化である−4%が表示されます。

注意すべき例外

• 基準がゼロや負の値の場合。 0で割ることはできないため、変化率には0以外の開始値が必要です。負の値からの変化は符号が混乱を招くことがあるため、説明するときは絶対値を比べましょう。
• 丸め。 丸めは計算の途中ではなく、最後に行います。各段階で1.1025を1.10に丸めると、大きな金額では1セント以上ずれることがあります。
• 税金とチップ。 チップや税金を、別の割合の前に加えるか後に加えるかで結果は変わります。割り勘のガイドでは、税抜き・税込みの合計に対するチップについて解説しています。
• 複利の成長。 利息や成長は複利で増えるため、年10%の利率が10年で単純に100%になるわけではありません。掛け率を期間の数だけ累乗して計算します。

よくある質問

価格が20%上がり、その後20%下がった場合、元の価格で支払えますか？

いいえ。下落は上がった後の高い価格から計算されるため、最終的には開始価格より4%低くなります。2つの変化を掛け合わせ（1.20 × 0.80）、正味の影響を確認してください。

「パーセント」と「パーセンテージポイント」の違いは何ですか？

パーセンテージポイントは、2つの割合の差そのものです。たとえば5%から8%への変化は3ポイントです。一方、変化率は開始値を基準にするため、同じ変化でも60%の上昇になります。

割引前の元の価格はどうすれば求められますか？

割引後の価格を、1から割引率を引いた値で割ります。20%引きで80ドルになった商品の元の価格は、80 ÷ 0.80で100ドルです。