百分比的常见错误：先涨20%再跌20%为什么不会回到原价

百分比总是某个数量的一部分，而大多数百分比错误都来自忘记了它是以哪个数量为基数计算的。先涨20%再跌20%，并不会回到起点，因为两次变化的基数不同。先弄清基数，大部分困惑都会迎刃而解。

百分比计算器到底是百分之几？免费使用

占……的百分之几、百分比变化与百分点

有三个说法听起来相似，意思却不同：

• 占……的百分之几。 150的20%就是0.20 × 150，即30。你是在取一个固定数量的一部分。
• 百分比变化。 从旧值到新值的变化量，除以旧值：(新值 − 旧值) ÷ 旧值 × 100。从80涨到100，即 (100 − 80) ÷ 80 × 100，是上涨25%，而不是20%。
• 百分点。 两个百分比之间的算术差。如果储蓄利率从5%升到8%，就是上升了3个百分点。按相对变化算，它也上涨了60%，因为 (8 − 5) ÷ 5 × 100 等于60。在贷款中，利率上升一两个百分点对月供的影响，往往比听起来大得多，贷款计算器能告诉你具体多出多少。

新闻标题常常不说明指的是哪一种。如果有人说某个数字从5%起始、"上升了3%"，就要问清楚他说的是百分点还是相对变化。关于四个基本公式，参见如何计算百分比。

为什么先涨后跌不等于零

以100元的价格为例。上涨20%后是120元。下跌20%是以新价格120元为基数计算的，而不是以原来的100元。所以降价额是120的20%，即24元，最终价格为96元。

步骤	计算	结果
起始		100
上涨20%	100 × 1.20	120
下跌20%	120 × 0.80	96

净变化是−4%，而不是零。两次变化是相乘的，而不是相加的：1.20 × 0.80 = 0.96。同样的道理也解释了为什么两次连续折扣不能简单相加。先打8折，再减10%，乘数是 0.80 × 0.90 = 0.72，即优惠72%，也就是七二折，而不是三折。

百分比反算：从折后价推回原价

有时你知道促销价，却需要求原价。这时应除以乘数，而不是除以折扣率。

• 一件外套打8折后是80美元。乘数为0.80，所以原价是 80 ÷ 0.80 = 100美元。
• 一双鞋打7.5折后是90美元。乘数为0.75，所以原价是 90 ÷ 0.75 = 120美元。

常见错误是把80美元加上20%，得到96美元。这是错的，因为那20%是从100美元中算出的，而不是从80美元中算出的。你可以反过来核对：100美元减去20%是80美元，与题目一致。如果是两次折扣叠加的促销，折扣计算器会按顺序逐步算出结果。

账单实例

一家餐厅在60美元的餐费上加收10%的服务费，总额是 60 × 1.10 = 66美元。如果之后为了表示歉意又减免10%，结果是 66 × 0.90 = 59.40美元，比原价少0.60美元，并没有恰好回到60美元。减免是以较大的金额为基数计算的，所以减掉的部分比之前加上的服务费略少。

百分比的百分比

当一个比率作用于另一个比率时，要把小数相乘。销售额的40%部分收取5%的手续费，即 0.05 × 0.40 = 0.02，相当于总额的2%。增长率也适用同样的规则。每年增长10%，连续两年，即 1.10 × 1.10 = 1.21，总增长为21%，而不是20%。

避免大多数错误的步骤

1. 确定基数。计算前先问一句"占的是什么的百分之几？"
2. 换算成乘数。上涨20%是 × 1.20，下跌20%是 × 0.80。
3. 一连串变化时，把乘数相乘。
4. 反算时除以乘数，而不是减去百分比。
5. 反向应用变化，核对结果。

如果想快速验算某个数字，百分比计算器可以输入基数和变化量并给出结果，方便你逐步核对。

在 fixmint 上怎么操作

1. 打开百分比计算器，使用以"起始值"开头的那一行。
2. 输入100，保持"+"号，百分比输入20。结果是120。
3. 把起始值改为120，切换为"−"号，再输入20。结果是96。
4. 用"从……到……"那一行，输入100和96，查看净变化，结果为−4%。

特殊情况

• 零和负数基数。 计算百分比变化时，起始值不能为零，因为不能除以零。从负数出发的变化，其结果的正负号可能令人困惑，因此描述时最好比较绝对值。
• 四舍五入。 只在计算结束时取整，不要每一步都取整。每一步都把1.1025取整为1.10，在金额很大时，总数可能相差一分钱甚至更多。
• 税费和小费。 小费或税费是在另一个百分比之前还是之后计入，结果会不同。均摊账单指南讲解了税前和税后总额的小费计算。
• 复利增长。 利息和增长是复利计算的，所以10%的年利率在十年后并不会简单相加成100%。应使用乘数，并取其期数次方。

快速解答

如果价格先涨20%再降20%，我需要按原价付款吗？

不需要。降价是以较高的价格为基数计算的，所以最终比起始价低4%。把两次变化相乘，即 1.20 × 0.80，就能看出净效果。

百分比和百分点有什么区别？

百分点是两个百分比之间的算术差，例如从5%到8%是3个百分点。百分比变化则是相对于起始值的，同样的变动，也可以说是上涨60%。

折扣前的原价怎么求？

用促销价除以（1减去折扣率）。一件80美元的商品打8折后，原价为 80 ÷ 0.80，即100美元。